Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81188 / 115031
↖ ↑ ↗
← S 79.346904°
E 42.989502°		 ← 56.46 m → S 79.346904°
E 42.992249°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.347411°
E 42.989502°		 ← 56.46 m →
3 187 m²		 S 79.347411°
E 42.992249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619419097900391 y=0.877620697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619419097900391 × 217)
    floor (0.619419097900391 × 131072)
    floor (81188.5)     		tx = 81188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877620697021484 × 217)
    floor (0.877620697021484 × 131072)
    floor (115031.5)     		ty = 115031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81188 / 115031 ti = "17/81188/115031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81188/115031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81188 ÷ 217
    81188 ÷ 131072     		x = 0.619415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115031 ÷ 217
    115031 ÷ 131072     		y = 0.877616882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619415283203125 × 2 - 1) × π
    0.23883056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75030835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877616882324219 × 2 - 1) × π
    -0.755233764648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.37263684669468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75030835} λ = 0.75030835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37263684669468))-π/2
    2×atan(0.0932345566323982)-π/2
    2×0.0929658041528399-π/2
    0.18593160830568-1.57079632675     		φ = -1.38486472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75030835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.989502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38486472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.346904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81188 KachelY 115031 0.75030835 -1.38486472 42.989502 -79.346904
    Oben rechts KachelX + 1 81189 KachelY 115031 0.75035629 -1.38486472 42.992249 -79.346904
    Unten links KachelX 81188 KachelY + 1 115032 0.75030835 -1.38487358 42.989502 -79.347411
    Unten rechts KachelX + 1 81189 KachelY + 1 115032 0.75035629 -1.38487358 42.992249 -79.347411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38486472--1.38487358) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38486472--1.38487358) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75030835-0.75035629) × cos(-1.38486472) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184862163662838 × 6371000     		do = 56.461663134817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75030835-0.75035629) × cos(-1.38487358) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184853456362481 × 6371000     		du = 56.4590037011623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38486472)-sin(-1.38487358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184862163662838-0.184853456362481)×R²
    abs(0.75035629-0.75030835)×8.70730035609779e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.70730035609779e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.70730035609779e-06×40589641000000     		ar = 3187.0198282358m²