Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81187 / 114913
↖ ↑ ↗
← S 79.286823°
E 42.986756°		 ← 56.76 m → S 79.286823°
E 42.989502°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.287334°
E 42.986756°		 ← 56.76 m →
3 222 m²		 S 79.287334°
E 42.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619411468505859 y=0.876720428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619411468505859 × 217)
    floor (0.619411468505859 × 131072)
    floor (81187.5)     		tx = 81187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876720428466797 × 217)
    floor (0.876720428466797 × 131072)
    floor (114913.5)     		ty = 114913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81187 / 114913 ti = "17/81187/114913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81187/114913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81187 ÷ 217
    81187 ÷ 131072     		x = 0.619407653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114913 ÷ 217
    114913 ÷ 131072     		y = 0.876716613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619407653808594 × 2 - 1) × π
    0.238815307617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.75026042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876716613769531 × 2 - 1) × π
    -0.753433227539062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36698029253951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75026042} λ = 0.75026042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36698029253951))-π/2
    2×atan(0.0937634373621689)-π/2
    2×0.0934901014312682-π/2
    0.186980202862536-1.57079632675     		φ = -1.38381612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75026042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.986756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38381612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.286823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81187 KachelY 114913 0.75026042 -1.38381612 42.986756 -79.286823
    Oben rechts KachelX + 1 81188 KachelY 114913 0.75030835 -1.38381612 42.989502 -79.286823
    Unten links KachelX 81187 KachelY + 1 114914 0.75026042 -1.38382503 42.986756 -79.287334
    Unten rechts KachelX + 1 81188 KachelY + 1 114914 0.75030835 -1.38382503 42.989502 -79.287334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38381612--1.38382503) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dl = 56.7656099987677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38381612--1.38382503) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dr = 56.7656099987677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75026042-0.75030835) × cos(-1.38381612) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185892588651236 × 6371000     		do = 56.7645382323997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75026042-0.75030835) × cos(-1.38382503) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18588383394452 × 6371000     		du = 56.7618648773849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38381612)-sin(-1.38382503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185892588651236-0.18588383394452)×R²
    abs(0.75030835-0.75026042)×8.75470671593548e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.75470671593548e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.75470671593548e-06×40589641000000     		ar = 3222.19776178133m²