Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81186 / 115033
↖ ↑ ↗
← S 79.347919°
E 42.984009°		 ← 56.46 m → S 79.347919°
E 42.986756°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.348427°
E 42.984009°		 ← 56.45 m →
3 187 m²		 S 79.348427°
E 42.986756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619403839111328 y=0.877635955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619403839111328 × 217)
    floor (0.619403839111328 × 131072)
    floor (81186.5)     		tx = 81186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877635955810547 × 217)
    floor (0.877635955810547 × 131072)
    floor (115033.5)     		ty = 115033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81186 / 115033 ti = "17/81186/115033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81186/115033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81186 ÷ 217
    81186 ÷ 131072     		x = 0.619400024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115033 ÷ 217
    115033 ÷ 131072     		y = 0.877632141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619400024414062 × 2 - 1) × π
    0.238800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75021248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877632141113281 × 2 - 1) × π
    -0.755264282226562 × 3.1415926535     		Φ = -2.37273272049392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75021248} λ = 0.75021248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37273272049392))-π/2
    2×atan(0.0932256183097157)-π/2
    2×0.0929569428512546-π/2
    0.185913885702509-1.57079632675     		φ = -1.38488244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75021248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.984009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38488244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.347919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81186 KachelY 115033 0.75021248 -1.38488244 42.984009 -79.347919
    Oben rechts KachelX + 1 81187 KachelY 115033 0.75026042 -1.38488244 42.986756 -79.347919
    Unten links KachelX 81186 KachelY + 1 115034 0.75021248 -1.38489130 42.984009 -79.348427
    Unten rechts KachelX + 1 81187 KachelY + 1 115034 0.75026042 -1.38489130 42.986756 -79.348427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38488244--1.38489130) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38488244--1.38489130) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75021248-0.75026042) × cos(-1.38488244) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184844749047615 × 6371000     		do = 56.4563442630757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75021248-0.75026042) × cos(-1.38489130) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184836041718237 × 6371000     		du = 56.4536848205572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38488244)-sin(-1.38489130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184844749047615-0.184836041718237)×R²
    abs(0.75026042-0.75021248)×8.70732937724439e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.70732937724439e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.70732937724439e-06×40589641000000     		ar = 3186.71959317808m²