Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8118 / 3963
↖ ↑ ↗
← N 67.651033°
W  1.625976°		 ← 929.02 m → N 67.651033°
W  1.604004°		 →
↑
929.21 m
↓
↑
929.21 m
↓
N 67.642677°
W  1.625976°		 ← 929.35 m →
863 412 m²		 N 67.642677°
W  1.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495513916015625 y=0.241912841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495513916015625 × 214)
    floor (0.495513916015625 × 16384)
    floor (8118.5)     		tx = 8118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241912841796875 × 214)
    floor (0.241912841796875 × 16384)
    floor (3963.5)     		ty = 3963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8118 / 3963 ti = "14/8118/3963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8118/3963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8118 ÷ 214
    8118 ÷ 16384     		x = 0.4954833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3963 ÷ 214
    3963 ÷ 16384     		y = 0.24188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02837864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24188232421875 × 2 - 1) × π
    0.5162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62180118794574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02837864} λ = -0.02837864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62180118794574))-π/2
    2×atan(5.06220008366926)-π/2
    2×1.37576479593704-π/2
    2.75152959187408-1.57079632675     		φ = 1.18073327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02837864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.625976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18073327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.651033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8118 KachelY 3963 -0.02837864 1.18073327 -1.625976 67.651033
    Oben rechts KachelX + 1 8119 KachelY 3963 -0.02799515 1.18073327 -1.604004 67.651033
    Unten links KachelX 8118 KachelY + 1 3964 -0.02837864 1.18058742 -1.625976 67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 8119 KachelY + 1 3964 -0.02799515 1.18058742 -1.604004 67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18073327-1.18058742) × R
    0.000145850000000003 × 6371000     		dl = 929.210350000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18073327-1.18058742) × R
    0.000145850000000003 × 6371000     		dr = 929.210350000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02837864--0.02799515) × cos(1.18073327) × R
    0.00038349 × 0.380246736168163 × 6371000     		do = 929.024449655285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02837864--0.02799515) × cos(1.18058742) × R
    0.00038349 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 929.354015984947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18073327)-sin(1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380246736168163-0.380381626612921)×R²
    abs(-0.02799515--0.02837864)×0.000134890444757618×R²
    0.00038349×0.000134890444757618×6371000²
    0.00038349×0.000134890444757618×40589641000000     		ar = 863412.253774734m²