Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81177 / 114908
↖ ↑ ↗
← S 79.284270°
E 42.959290°		 ← 56.78 m → S 79.284270°
E 42.962036°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
S 79.284781°
E 42.959290°		 ← 56.78 m →
3 227 m²		 S 79.284781°
E 42.962036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619335174560547 y=0.876682281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619335174560547 × 217)
    floor (0.619335174560547 × 131072)
    floor (81177.5)     		tx = 81177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876682281494141 × 217)
    floor (0.876682281494141 × 131072)
    floor (114908.5)     		ty = 114908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81177 / 114908 ti = "17/81177/114908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81177/114908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81177 ÷ 217
    81177 ÷ 131072     		x = 0.619331359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114908 ÷ 217
    114908 ÷ 131072     		y = 0.876678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619331359863281 × 2 - 1) × π
    0.238662719726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.74978105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.75335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36674060804141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74978105} λ = 0.74978105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36674060804141))-π/2
    2×atan(0.0937859136981002)-π/2
    2×0.0935123818401945-π/2
    0.187024763680389-1.57079632675     		φ = -1.38377156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74978105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.959290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38377156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.284270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81177 KachelY 114908 0.74978105 -1.38377156 42.959290 -79.284270
    Oben rechts KachelX + 1 81178 KachelY 114908 0.74982898 -1.38377156 42.962036 -79.284270
    Unten links KachelX 81177 KachelY + 1 114909 0.74978105 -1.38378048 42.959290 -79.284781
    Unten rechts KachelX + 1 81178 KachelY + 1 114909 0.74982898 -1.38378048 42.962036 -79.284781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38377156--1.38378048) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38377156--1.38378048) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74978105-0.74982898) × cos(-1.38377156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185936371789056 × 6371000     		do = 56.7779079403756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74978105-0.74982898) × cos(-1.38378048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185927607330517 × 6371000     		du = 56.7752316075244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38377156)-sin(-1.38378048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185936371789056-0.185927607330517)×R²
    abs(0.74982898-0.74978105)×8.7644585387292e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.7644585387292e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.7644585387292e-06×40589641000000     		ar = 3226.57385220014m²