Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81176 / 114907
↖ ↑ ↗
← S 79.283760°
E 42.956543°		 ← 56.79 m → S 79.283760°
E 42.959290°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.284270°
E 42.956543°		 ← 56.79 m →
3 224 m²		 S 79.284270°
E 42.959290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619327545166016 y=0.876674652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619327545166016 × 217)
    floor (0.619327545166016 × 131072)
    floor (81176.5)     		tx = 81176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876674652099609 × 217)
    floor (0.876674652099609 × 131072)
    floor (114907.5)     		ty = 114907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81176 / 114907 ti = "17/81176/114907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81176/114907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81176 ÷ 217
    81176 ÷ 131072     		x = 0.61932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114907 ÷ 217
    114907 ÷ 131072     		y = 0.876670837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61932373046875 × 2 - 1) × π
    0.2386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.74973311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876670837402344 × 2 - 1) × π
    -0.753341674804688 × 3.1415926535     		Φ = -2.36669267114179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74973311} λ = 0.74973311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36669267114179))-π/2
    2×atan(0.0937904096117901)-π/2
    2×0.0935168385516731-π/2
    0.187033677103346-1.57079632675     		φ = -1.38376265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74973311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38376265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.283760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81176 KachelY 114907 0.74973311 -1.38376265 42.956543 -79.283760
    Oben rechts KachelX + 1 81177 KachelY 114907 0.74978105 -1.38376265 42.959290 -79.283760
    Unten links KachelX 81176 KachelY + 1 114908 0.74973311 -1.38377156 42.956543 -79.284270
    Unten rechts KachelX + 1 81177 KachelY + 1 114908 0.74978105 -1.38377156 42.959290 -79.284270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38376265--1.38377156) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38376265--1.38377156) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74973311-0.74978105) × cos(-1.38376265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185945126407199 × 6371000     		do = 56.7924278322751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74973311-0.74978105) × cos(-1.38377156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185936371789056 × 6371000     		du = 56.7897539465503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38376265)-sin(-1.38377156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185945126407199-0.185936371789056)×R²
    abs(0.74978105-0.74973311)×8.75461814323075e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75461814323075e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75461814323075e-06×40589641000000     		ar = 3223.78091702815m²