Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81173 / 114903
↖ ↑ ↗
← S 79.281717°
E 42.948303°		 ← 56.80 m → S 79.281717°
E 42.951050°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
S 79.282228°
E 42.948303°		 ← 56.80 m →
3 228 m²		 S 79.282228°
E 42.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619304656982422 y=0.876644134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619304656982422 × 217)
    floor (0.619304656982422 × 131072)
    floor (81173.5)     		tx = 81173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876644134521484 × 217)
    floor (0.876644134521484 × 131072)
    floor (114903.5)     		ty = 114903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81173 / 114903 ti = "17/81173/114903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81173/114903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81173 ÷ 217
    81173 ÷ 131072     		x = 0.619300842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114903 ÷ 217
    114903 ÷ 131072     		y = 0.876640319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619300842285156 × 2 - 1) × π
    0.238601684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.74958930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876640319824219 × 2 - 1) × π
    -0.753280639648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.36650092354331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74958930} λ = 0.74958930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36650092354331))-π/2
    2×atan(0.0938083954219065)-π/2
    2×0.0935346674968827-π/2
    0.187069334993765-1.57079632675     		φ = -1.38372699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74958930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.948303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38372699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.281717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81173 KachelY 114903 0.74958930 -1.38372699 42.948303 -79.281717
    Oben rechts KachelX + 1 81174 KachelY 114903 0.74963724 -1.38372699 42.951050 -79.281717
    Unten links KachelX 81173 KachelY + 1 114904 0.74958930 -1.38373591 42.948303 -79.282228
    Unten rechts KachelX + 1 81174 KachelY + 1 114904 0.74963724 -1.38373591 42.951050 -79.282228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38372699--1.38373591) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38372699--1.38373591) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74958930-0.74963724) × cos(-1.38372699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185980164383217 × 6371000     		do = 56.8031293320284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74958930-0.74963724) × cos(-1.38373591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185971399998607 × 6371000     		du = 56.8004524633732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38372699)-sin(-1.38373591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185980164383217-0.185971399998607)×R²
    abs(0.74963724-0.74958930)×8.76438461006046e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.76438461006046e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.76438461006046e-06×40589641000000     		ar = 3228.00715158306m²