Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81170 / 114810
S 79.234107°
E 42.940064°
← 57.05 m → S 79.234107°
E 42.942810°

57.02 m

57.02 m
S 79.234620°
E 42.940064°
← 57.05 m →
3 253 m²
S 79.234620°
E 42.942810°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619281768798828 y=0.875934600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619281768798828 × 217)
    floor (0.619281768798828 × 131072)
    floor (81170.5)
    tx = 81170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875934600830078 × 217)
    floor (0.875934600830078 × 131072)
    floor (114810.5)
    ty = 114810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81170 / 114810 ti = "17/81170/114810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81170/114810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81170 ÷ 217
    81170 ÷ 131072
    x = 0.619277954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114810 ÷ 217
    114810 ÷ 131072
    y = 0.875930786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.619277954101562 × 2 - 1) × π
    0.238555908203125 × 3.1415926535
    Λ = 0.74944549
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.875930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.751861572265625 × 3.1415926535
    Φ = -2.36204279187865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74944549} λ = 0.74944549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36204279187865))-π/2
    2×atan(0.0942275392048292)-π/2
    2×0.093950138766264-π/2
    0.187900277532528-1.57079632675
    φ = -1.38289605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74944549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.940064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38289605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.234107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81170 KachelY 114810 0.74944549 -1.38289605 42.940064 -79.234107
    Oben rechts KachelX + 1 81171 KachelY 114810 0.74949343 -1.38289605 42.942810 -79.234107
    Unten links KachelX 81170 KachelY + 1 114811 0.74944549 -1.38290500 42.940064 -79.234620
    Unten rechts KachelX + 1 81171 KachelY + 1 114811 0.74949343 -1.38290500 42.942810 -79.234620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.38289605--1.38290500) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000
    dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.38289605--1.38290500) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000
    dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.74944549-0.74949343) × cos(-1.38289605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186796543087699 × 6371000
    do = 57.052472401965m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.74944549-0.74949343) × cos(-1.38290500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186787750612556 × 6371000
    du = 57.0497869537378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.38289605)-sin(-1.38290500))×
    abs(λ12)×abs(0.186796543087699-0.186787750612556)×
    abs(0.74949343-0.74944549)×8.7924751435986e-06×
    4.79399999999686e-05×8.7924751435986e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7924751435986e-06×40589641000000
    ar = 3253.08108728169m²