Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81169 / 114809
↖ ↑ ↗
← S 79.233594°
E 42.937317°		 ← 57.06 m → S 79.233594°
E 42.940064°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
S 79.234107°
E 42.937317°		 ← 57.05 m →
3 257 m²		 S 79.234107°
E 42.940064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619274139404297 y=0.875926971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619274139404297 × 217)
    floor (0.619274139404297 × 131072)
    floor (81169.5)     		tx = 81169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875926971435547 × 217)
    floor (0.875926971435547 × 131072)
    floor (114809.5)     		ty = 114809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81169 / 114809 ti = "17/81169/114809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81169/114809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81169 ÷ 217
    81169 ÷ 131072     		x = 0.619270324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114809 ÷ 217
    114809 ÷ 131072     		y = 0.875923156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619270324707031 × 2 - 1) × π
    0.238540649414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.74939755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875923156738281 × 2 - 1) × π
    -0.751846313476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.36199485497903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74939755} λ = 0.74939755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36199485497903))-π/2
    2×atan(0.0942320562891842)-π/2
    2×0.0939546160952739-π/2
    0.187909232190548-1.57079632675     		φ = -1.38288709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74939755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.937317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38288709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.233594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81169 KachelY 114809 0.74939755 -1.38288709 42.937317 -79.233594
    Oben rechts KachelX + 1 81170 KachelY 114809 0.74944549 -1.38288709 42.940064 -79.233594
    Unten links KachelX 81169 KachelY + 1 114810 0.74939755 -1.38289605 42.937317 -79.234107
    Unten rechts KachelX + 1 81170 KachelY + 1 114810 0.74944549 -1.38289605 42.940064 -79.234107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38288709--1.38289605) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38288709--1.38289605) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74939755-0.74944549) × cos(-1.38288709) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186805345371849 × 6371000     		do = 57.0551608462474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74939755-0.74944549) × cos(-1.38289605) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186796543087699 × 6371000     		du = 57.0524724020971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38288709)-sin(-1.38289605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186805345371849-0.186796543087699)×R²
    abs(0.74944549-0.74939755)×8.80228415015005e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.80228415015005e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.80228415015005e-06×40589641000000     		ar = 3256.86919682034m²