Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81168 / 114800
↖ ↑ ↗
← S 79.228975°
E 42.934570°		 ← 57.08 m → S 79.228975°
E 42.937317°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
S 79.229489°
E 42.934570°		 ← 57.08 m →
3 258 m²		 S 79.229489°
E 42.937317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619266510009766 y=0.875858306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619266510009766 × 217)
    floor (0.619266510009766 × 131072)
    floor (81168.5)     		tx = 81168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875858306884766 × 217)
    floor (0.875858306884766 × 131072)
    floor (114800.5)     		ty = 114800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81168 / 114800 ti = "17/81168/114800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81168/114800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81168 ÷ 217
    81168 ÷ 131072     		x = 0.6192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114800 ÷ 217
    114800 ÷ 131072     		y = 0.8758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6192626953125 × 2 - 1) × π
    0.238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.74934961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36156342288245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74934961} λ = 0.74934961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36156342288245))-π/2
    2×atan(0.0942727197939339)-π/2
    2×0.0939949215460365-π/2
    0.187989843092073-1.57079632675     		φ = -1.38280648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74934961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.934570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38280648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.228975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81168 KachelY 114800 0.74934961 -1.38280648 42.934570 -79.228975
    Oben rechts KachelX + 1 81169 KachelY 114800 0.74939755 -1.38280648 42.937317 -79.228975
    Unten links KachelX 81168 KachelY + 1 114801 0.74934961 -1.38281544 42.934570 -79.229489
    Unten rechts KachelX + 1 81169 KachelY + 1 114801 0.74939755 -1.38281544 42.937317 -79.229489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38280648--1.38281544) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38280648--1.38281544) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74934961-0.74939755) × cos(-1.38280648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186884535782793 × 6371000     		do = 57.0793476359787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74934961-0.74939755) × cos(-1.38281544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186875733633592 × 6371000     		du = 57.0766592330452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38280648)-sin(-1.38281544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186884535782793-0.186875733633592)×R²
    abs(0.74939755-0.74934961)×8.80214920165323e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.80214920165323e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.80214920165323e-06×40589641000000     		ar = 3258.24988048806m²