Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81167 / 114799
↖ ↑ ↗
← S 79.228462°
E 42.931824°		 ← 57.07 m → S 79.228462°
E 42.934570°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
S 79.228975°
E 42.931824°		 ← 57.07 m →
3 258 m²		 S 79.228975°
E 42.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619258880615234 y=0.875850677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619258880615234 × 217)
    floor (0.619258880615234 × 131072)
    floor (81167.5)     		tx = 81167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875850677490234 × 217)
    floor (0.875850677490234 × 131072)
    floor (114799.5)     		ty = 114799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81167 / 114799 ti = "17/81167/114799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81167/114799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81167 ÷ 217
    81167 ÷ 131072     		x = 0.619255065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114799 ÷ 217
    114799 ÷ 131072     		y = 0.875846862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619255065917969 × 2 - 1) × π
    0.238510131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.74930168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875846862792969 × 2 - 1) × π
    -0.751693725585938 × 3.1415926535     		Φ = -2.36151548598283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74930168} λ = 0.74930168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36151548598283))-π/2
    2×atan(0.0942772390441581)-π/2
    2×0.0939994009840383-π/2
    0.187998801968077-1.57079632675     		φ = -1.38279752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74930168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.931824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38279752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.228462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81167 KachelY 114799 0.74930168 -1.38279752 42.931824 -79.228462
    Oben rechts KachelX + 1 81168 KachelY 114799 0.74934961 -1.38279752 42.934570 -79.228462
    Unten links KachelX 81167 KachelY + 1 114800 0.74930168 -1.38280648 42.931824 -79.228975
    Unten rechts KachelX + 1 81168 KachelY + 1 114800 0.74934961 -1.38280648 42.934570 -79.228975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38279752--1.38280648) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38279752--1.38280648) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74930168-0.74934961) × cos(-1.38279752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186893337916992 × 6371000     		do = 57.0701290598435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74930168-0.74934961) × cos(-1.38280648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186884535782793 × 6371000     		du = 57.0674412222764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38279752)-sin(-1.38280648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186893337916992-0.186884535782793)×R²
    abs(0.74934961-0.74930168)×8.80213419826581e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.80213419826581e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.80213419826581e-06×40589641000000     		ar = 3257.72366205952m²