Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81166 / 114801
↖ ↑ ↗
← S 79.229489°
E 42.929077°		 ← 57.08 m → S 79.229489°
E 42.931824°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
S 79.230002°
E 42.929077°		 ← 57.07 m →
3 258 m²		 S 79.230002°
E 42.931824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619251251220703 y=0.875865936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619251251220703 × 217)
    floor (0.619251251220703 × 131072)
    floor (81166.5)     		tx = 81166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875865936279297 × 217)
    floor (0.875865936279297 × 131072)
    floor (114801.5)     		ty = 114801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81166 / 114801 ti = "17/81166/114801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81166/114801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81166 ÷ 217
    81166 ÷ 131072     		x = 0.619247436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114801 ÷ 217
    114801 ÷ 131072     		y = 0.875862121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619247436523438 × 2 - 1) × π
    0.238494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.74925374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875862121582031 × 2 - 1) × π
    -0.751724243164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36161135978207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74925374} λ = 0.74925374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36161135978207))-π/2
    2×atan(0.0942682007603433)-π/2
    2×0.0939904423189771-π/2
    0.187980884637954-1.57079632675     		φ = -1.38281544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74925374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.929077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38281544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.229489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81166 KachelY 114801 0.74925374 -1.38281544 42.929077 -79.229489
    Oben rechts KachelX + 1 81167 KachelY 114801 0.74930168 -1.38281544 42.931824 -79.229489
    Unten links KachelX 81166 KachelY + 1 114802 0.74925374 -1.38282440 42.929077 -79.230002
    Unten rechts KachelX + 1 81167 KachelY + 1 114802 0.74930168 -1.38282440 42.931824 -79.230002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38281544--1.38282440) × R
    8.96000000016883e-06 × 6371000     		dl = 57.0841600010756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38281544--1.38282440) × R
    8.96000000016883e-06 × 6371000     		dr = 57.0841600010756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74925374-0.74930168) × cos(-1.38281544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186875733633592 × 6371000     		do = 57.0766592330452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74925374-0.74930168) × cos(-1.38282440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186866931469387 × 6371000     		du = 57.0739708255295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38281544)-sin(-1.38282440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186875733633592-0.186866931469387)×R²
    abs(0.74930168-0.74925374)×8.80216420456881e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.80216420456881e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.80216420456881e-06×40589641000000     		ar = 3258.09641528584m²