Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8116 / 7753
↖ ↑ ↗
← N 79.615148°
W135.417481°		 ← 110.10 m → N 79.615148°
W135.411988°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
N 79.614158°
W135.417481°		 ← 110.11 m →
12 122 m²		 N 79.614158°
W135.411988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123847961425781 y=0.118309020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123847961425781 × 216)
    floor (0.123847961425781 × 65536)
    floor (8116.5)     		tx = 8116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118309020996094 × 216)
    floor (0.118309020996094 × 65536)
    floor (7753.5)     		ty = 7753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8116 / 7753 ti = "16/8116/7753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8116/7753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8116 ÷ 216
    8116 ÷ 65536     		x = 0.12384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7753 ÷ 216
    7753 ÷ 65536     		y = 0.118301391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.7523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36348090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118301391601562 × 2 - 1) × π
    0.763397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39828308799141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36348090} λ = -2.36348090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39828308799141))-π/2
    2×atan(11.0042667944338)-π/2
    2×1.4801713998694-π/2
    2.96034279973881-1.57079632675     		φ = 1.38954647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36348090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38954647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.615148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8116 KachelY 7753 -2.36348090 1.38954647 -135.417481 79.615148
    Oben rechts KachelX + 1 8117 KachelY 7753 -2.36338503 1.38954647 -135.411988 79.615148
    Unten links KachelX 8116 KachelY + 1 7754 -2.36348090 1.38952919 -135.417481 79.614158
    Unten rechts KachelX + 1 8117 KachelY + 1 7754 -2.36338503 1.38952919 -135.411988 79.614158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38954647-1.38952919) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38954647-1.38952919) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36348090--2.36338503) × cos(1.38954647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18025909699543 × 6371000     		do = 110.10005187605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36348090--2.36338503) × cos(1.38952919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180276093907654 × 6371000     		du = 110.110433382164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38954647)-sin(1.38952919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18025909699543-0.180276093907654)×R²
    abs(-2.36338503--2.36348090)×1.69969122243985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69969122243985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69969122243985e-05×40589641000000     		ar = 12121.5830539631m²