Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81144 / 114936
↖ ↑ ↗
← S 79.298560°
E 42.868652°		 ← 56.71 m → S 79.298560°
E 42.871399°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.299070°
E 42.868652°		 ← 56.71 m →
3 216 m²		 S 79.299070°
E 42.871399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619083404541016 y=0.876895904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619083404541016 × 217)
    floor (0.619083404541016 × 131072)
    floor (81144.5)     		tx = 81144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876895904541016 × 217)
    floor (0.876895904541016 × 131072)
    floor (114936.5)     		ty = 114936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81144 / 114936 ti = "17/81144/114936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81144/114936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81144 ÷ 217
    81144 ÷ 131072     		x = 0.61907958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114936 ÷ 217
    114936 ÷ 131072     		y = 0.87689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61907958984375 × 2 - 1) × π
    0.2381591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.74819913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.7537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36808284123077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74819913} λ = 0.74819913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36808284123077))-π/2
    2×atan(0.0936601155761336)-π/2
    2×0.0933876791076226-π/2
    0.186775358215245-1.57079632675     		φ = -1.38402097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74819913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.868652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38402097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.298560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81144 KachelY 114936 0.74819913 -1.38402097 42.868652 -79.298560
    Oben rechts KachelX + 1 81145 KachelY 114936 0.74824707 -1.38402097 42.871399 -79.298560
    Unten links KachelX 81144 KachelY + 1 114937 0.74819913 -1.38402987 42.868652 -79.299070
    Unten rechts KachelX + 1 81145 KachelY + 1 114937 0.74824707 -1.38402987 42.871399 -79.299070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38402097--1.38402987) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38402097--1.38402987) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74819913-0.74824707) × cos(-1.38402097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185691305273135 × 6371000     		do = 56.7149043245761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74819913-0.74824707) × cos(-1.38402987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185682560053415 × 6371000     		du = 56.7122333093716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38402097)-sin(-1.38402987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185691305273135-0.185682560053415)×R²
    abs(0.74824707-0.74819913)×8.74521972032971e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74521972032971e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74521972032971e-06×40589641000000     		ar = 3215.76710784399m²