Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81140 / 114923
↖ ↑ ↗
← S 79.291928°
E 42.857666°		 ← 56.75 m → S 79.291928°
E 42.860413°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.292438°
E 42.857666°		 ← 56.75 m →
3 221 m²		 S 79.292438°
E 42.860413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619052886962891 y=0.876796722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619052886962891 × 217)
    floor (0.619052886962891 × 131072)
    floor (81140.5)     		tx = 81140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876796722412109 × 217)
    floor (0.876796722412109 × 131072)
    floor (114923.5)     		ty = 114923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81140 / 114923 ti = "17/81140/114923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81140/114923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81140 ÷ 217
    81140 ÷ 131072     		x = 0.619049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114923 ÷ 217
    114923 ÷ 131072     		y = 0.876792907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619049072265625 × 2 - 1) × π
    0.23809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74800738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876792907714844 × 2 - 1) × π
    -0.753585815429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.36745966153571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74800738} λ = 0.74800738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36745966153571))-π/2
    2×atan(0.0937185008487664)-π/2
    2×0.0934455563519351-π/2
    0.18689111270387-1.57079632675     		φ = -1.38390521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74800738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.857666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38390521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.291928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81140 KachelY 114923 0.74800738 -1.38390521 42.857666 -79.291928
    Oben rechts KachelX + 1 81141 KachelY 114923 0.74805532 -1.38390521 42.860413 -79.291928
    Unten links KachelX 81140 KachelY + 1 114924 0.74800738 -1.38391412 42.857666 -79.292438
    Unten rechts KachelX + 1 81141 KachelY + 1 114924 0.74805532 -1.38391412 42.860413 -79.292438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38390521--1.38391412) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38390521--1.38391412) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74800738-0.74805532) × cos(-1.38390521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185805050745961 × 6371000     		do = 56.7496451197856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74800738-0.74805532) × cos(-1.38391412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185796295891723 × 6371000     		du = 56.7469711619514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38390521)-sin(-1.38391412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185805050745961-0.185796295891723)×R²
    abs(0.74805532-0.74800738)×8.75485423795785e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75485423795785e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75485423795785e-06×40589641000000     		ar = 3221.35232798318m²