Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81139 / 114915
↖ ↑ ↗
← S 79.287845°
E 42.854919°		 ← 56.77 m → S 79.287845°
E 42.857666°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.288355°
E 42.854919°		 ← 56.77 m →
3 223 m²		 S 79.288355°
E 42.857666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619045257568359 y=0.876735687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619045257568359 × 217)
    floor (0.619045257568359 × 131072)
    floor (81139.5)     		tx = 81139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876735687255859 × 217)
    floor (0.876735687255859 × 131072)
    floor (114915.5)     		ty = 114915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81139 / 114915 ti = "17/81139/114915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81139/114915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81139 ÷ 217
    81139 ÷ 131072     		x = 0.619041442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114915 ÷ 217
    114915 ÷ 131072     		y = 0.876731872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619041442871094 × 2 - 1) × π
    0.238082885742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.74795944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876731872558594 × 2 - 1) × π
    -0.753463745117188 × 3.1415926535     		Φ = -2.36707616633875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74795944} λ = 0.74795944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36707616633875))-π/2
    2×atan(0.093754448336112)-π/2
    2×0.093481190736804-π/2
    0.186962381473608-1.57079632675     		φ = -1.38383395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74795944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.854919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38383395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.287845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81139 KachelY 114915 0.74795944 -1.38383395 42.854919 -79.287845
    Oben rechts KachelX + 1 81140 KachelY 114915 0.74800738 -1.38383395 42.857666 -79.287845
    Unten links KachelX 81139 KachelY + 1 114916 0.74795944 -1.38384286 42.854919 -79.288355
    Unten rechts KachelX + 1 81140 KachelY + 1 114916 0.74800738 -1.38384286 42.857666 -79.288355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38383395--1.38384286) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dl = 56.7656099987677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38383395--1.38384286) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dr = 56.7656099987677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74795944-0.74800738) × cos(-1.38383395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185875069397313 × 6371000     		do = 56.7710306181885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74795944-0.74800738) × cos(-1.38384286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185866314661067 × 6371000     		du = 56.7683566963922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38383395)-sin(-1.38384286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185875069397313-0.185866314661067)×R²
    abs(0.74800738-0.74795944)×8.75473624573075e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75473624573075e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75473624573075e-06×40589641000000     		ar = 3222.56628992028m²