Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81138 / 114916
↖ ↑ ↗
← S 79.288355°
E 42.852173°		 ← 56.76 m → S 79.288355°
E 42.854919°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.288865°
E 42.852173°		 ← 56.75 m →
3 218 m²		 S 79.288865°
E 42.854919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619037628173828 y=0.876743316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619037628173828 × 217)
    floor (0.619037628173828 × 131072)
    floor (81138.5)     		tx = 81138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876743316650391 × 217)
    floor (0.876743316650391 × 131072)
    floor (114916.5)     		ty = 114916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81138 / 114916 ti = "17/81138/114916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81138/114916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81138 ÷ 217
    81138 ÷ 131072     		x = 0.619033813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114916 ÷ 217
    114916 ÷ 131072     		y = 0.876739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619033813476562 × 2 - 1) × π
    0.238067626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74791151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.75347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36712410323837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74791151} λ = 0.74791151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36712410323837))-π/2
    2×atan(0.0937499541462528)-π/2
    2×0.0934767357043423-π/2
    0.186953471408685-1.57079632675     		φ = -1.38384286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74791151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.852173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38384286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.288355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81138 KachelY 114916 0.74791151 -1.38384286 42.852173 -79.288355
    Oben rechts KachelX + 1 81139 KachelY 114916 0.74795944 -1.38384286 42.854919 -79.288355
    Unten links KachelX 81138 KachelY + 1 114917 0.74791151 -1.38385176 42.852173 -79.288865
    Unten rechts KachelX + 1 81139 KachelY + 1 114917 0.74795944 -1.38385176 42.854919 -79.288865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38384286--1.38385176) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38384286--1.38385176) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74791151-0.74795944) × cos(-1.38384286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185866314661067 × 6371000     		do = 56.7565151535571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74791151-0.74795944) × cos(-1.38385176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185857569735833 × 6371000     		du = 56.7538447854352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38384286)-sin(-1.38385176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185866314661067-0.185857569735833)×R²
    abs(0.74795944-0.74791151)×8.74492523461612e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74492523461612e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74492523461612e-06×40589641000000     		ar = 3218.12653920614m²