Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81134 / 114930
↖ ↑ ↗
← S 79.295500°
E 42.841187°		 ← 56.73 m → S 79.295500°
E 42.843933°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
S 79.296010°
E 42.841187°		 ← 56.73 m →
3 220 m²		 S 79.296010°
E 42.843933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619007110595703 y=0.876850128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619007110595703 × 217)
    floor (0.619007110595703 × 131072)
    floor (81134.5)     		tx = 81134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876850128173828 × 217)
    floor (0.876850128173828 × 131072)
    floor (114930.5)     		ty = 114930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81134 / 114930 ti = "17/81134/114930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81134/114930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81134 ÷ 217
    81134 ÷ 131072     		x = 0.619003295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114930 ÷ 217
    114930 ÷ 131072     		y = 0.876846313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619003295898438 × 2 - 1) × π
    0.238006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.74771976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876846313476562 × 2 - 1) × π
    -0.753692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36779521983305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74771976} λ = 0.74771976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36779521983305))-π/2
    2×atan(0.0936870581039243)-π/2
    2×0.0934143872781364-π/2
    0.186828774556273-1.57079632675     		φ = -1.38396755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74771976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.841187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38396755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.295500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81134 KachelY 114930 0.74771976 -1.38396755 42.841187 -79.295500
    Oben rechts KachelX + 1 81135 KachelY 114930 0.74776770 -1.38396755 42.843933 -79.295500
    Unten links KachelX 81134 KachelY + 1 114931 0.74771976 -1.38397646 42.841187 -79.296010
    Unten rechts KachelX + 1 81135 KachelY + 1 114931 0.74776770 -1.38397646 42.843933 -79.296010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38396755--1.38397646) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38396755--1.38397646) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74771976-0.74776770) × cos(-1.38396755) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185743795934516 × 6371000     		do = 56.7309363238028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74771976-0.74776770) × cos(-1.38397646) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185735040977092 × 6371000     		du = 56.7282623344529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38396755)-sin(-1.38397646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185743795934516-0.185735040977092)×R²
    abs(0.74776770-0.74771976)×8.75495742380661e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.75495742380661e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.75495742380661e-06×40589641000000     		ar = 3220.29031101974m²