Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81133 / 114931
↖ ↑ ↗
← S 79.296010°
E 42.838440°		 ← 56.73 m → S 79.296010°
E 42.841187°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.296520°
E 42.838440°		 ← 56.73 m →
3 217 m²		 S 79.296520°
E 42.841187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.618999481201172 y=0.876857757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.618999481201172 × 217)
    floor (0.618999481201172 × 131072)
    floor (81133.5)     		tx = 81133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876857757568359 × 217)
    floor (0.876857757568359 × 131072)
    floor (114931.5)     		ty = 114931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81133 / 114931 ti = "17/81133/114931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81133/114931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81133 ÷ 217
    81133 ÷ 131072     		x = 0.618995666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114931 ÷ 217
    114931 ÷ 131072     		y = 0.876853942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.618995666503906 × 2 - 1) × π
    0.237991333007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.74767182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876853942871094 × 2 - 1) × π
    -0.753707885742188 × 3.1415926535     		Φ = -2.36784315673267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74767182} λ = 0.74767182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36784315673267))-π/2
    2×atan(0.0936825671444665)-π/2
    2×0.0934099353921875-π/2
    0.186819870784375-1.57079632675     		φ = -1.38397646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74767182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.838440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38397646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.296010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81133 KachelY 114931 0.74767182 -1.38397646 42.838440 -79.296010
    Oben rechts KachelX + 1 81134 KachelY 114931 0.74771976 -1.38397646 42.841187 -79.296010
    Unten links KachelX 81133 KachelY + 1 114932 0.74767182 -1.38398536 42.838440 -79.296520
    Unten rechts KachelX + 1 81134 KachelY + 1 114932 0.74771976 -1.38398536 42.841187 -79.296520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38397646--1.38398536) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38397646--1.38398536) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74767182-0.74771976) × cos(-1.38397646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185735040977092 × 6371000     		do = 56.7282623343216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74767182-0.74771976) × cos(-1.38398536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185726295830939 × 6371000     		du = 56.7255913415861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38397646)-sin(-1.38398536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185735040977092-0.185726295830939)×R²
    abs(0.74771976-0.74767182)×8.74514615387123e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74514615387123e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74514615387123e-06×40589641000000     		ar = 3216.52453298582m²