Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81126 / 114937
↖ ↑ ↗
← S 79.299070°
E 42.819214°		 ← 56.70 m → S 79.299070°
E 42.821960°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.299580°
E 42.819214°		 ← 56.70 m →
3 215 m²		 S 79.299580°
E 42.821960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.618946075439453 y=0.876903533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.618946075439453 × 217)
    floor (0.618946075439453 × 131072)
    floor (81126.5)     		tx = 81126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876903533935547 × 217)
    floor (0.876903533935547 × 131072)
    floor (114937.5)     		ty = 114937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81126 / 114937 ti = "17/81126/114937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81126/114937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81126 ÷ 217
    81126 ÷ 131072     		x = 0.618942260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114937 ÷ 217
    114937 ÷ 131072     		y = 0.876899719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.618942260742188 × 2 - 1) × π
    0.237884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.74733627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876899719238281 × 2 - 1) × π
    -0.753799438476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.36813077813039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74733627} λ = 0.74733627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36813077813039))-π/2
    2×atan(0.0936556259081861)-π/2
    2×0.0933832284796789-π/2
    0.186766456959358-1.57079632675     		φ = -1.38402987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74733627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.819214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38402987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.299070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81126 KachelY 114937 0.74733627 -1.38402987 42.819214 -79.299070
    Oben rechts KachelX + 1 81127 KachelY 114937 0.74738420 -1.38402987 42.821960 -79.299070
    Unten links KachelX 81126 KachelY + 1 114938 0.74733627 -1.38403877 42.819214 -79.299580
    Unten rechts KachelX + 1 81127 KachelY + 1 114938 0.74738420 -1.38403877 42.821960 -79.299580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38402987--1.38403877) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38402987--1.38403877) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74733627-0.74738420) × cos(-1.38402987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185682560053415 × 6371000     		do = 56.7004034735425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74733627-0.74738420) × cos(-1.38403877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185673814818987 × 6371000     		du = 56.6977330110046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38402987)-sin(-1.38403877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185682560053415-0.185673814818987)×R²
    abs(0.74738420-0.74733627)×8.74523442828679e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74523442828679e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74523442828679e-06×40589641000000     		ar = 3214.94489749673m²