Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8112 / 8630
↖ ↑ ↗
← S  9.579084°
W  1.757813°		 ← 2 409.21 m → S  9.579084°
W  1.735840°		 →
↑
2 409.13 m
↓
↑
2 409.13 m
↓
S  9.600750°
W  1.757813°		 ← 2 409.06 m →
5 803 918 m²		 S  9.600750°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495147705078125 y=0.526763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495147705078125 × 214)
    floor (0.495147705078125 × 16384)
    floor (8112.5)     		tx = 8112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526763916015625 × 214)
    floor (0.526763916015625 × 16384)
    floor (8630.5)     		ty = 8630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8112 / 8630 ti = "14/8112/8630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8112/8630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8112 ÷ 214
    8112 ÷ 16384     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8630 ÷ 214
    8630 ÷ 16384     		y = 0.5267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5267333984375 × 2 - 1) × π
    -0.053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.167970896268677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167970896268677))-π/2
    2×atan(0.845378437993559)-π/2
    2×0.701804882906133-π/2
    1.40360976581227-1.57079632675     		φ = -0.16718656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16718656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.579084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8112 KachelY 8630 -0.03067962 -0.16718656 -1.757813 -9.579084
    Oben rechts KachelX + 1 8113 KachelY 8630 -0.03029612 -0.16718656 -1.735840 -9.579084
    Unten links KachelX 8112 KachelY + 1 8631 -0.03067962 -0.16756470 -1.757813 -9.600750
    Unten rechts KachelX + 1 8113 KachelY + 1 8631 -0.03029612 -0.16756470 -1.735840 -9.600750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16718656--0.16756470) × R
    0.000378139999999999 × 6371000     		dl = 2409.12993999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16718656--0.16756470) × R
    0.000378139999999999 × 6371000     		dr = 2409.12993999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(-0.16718656) × R
    0.000383500000000002 × 0.986056850001528 × 6371000     		do = 2409.21150138647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(-0.16756470) × R
    0.000383500000000002 × 0.985993853681504 × 6371000     		du = 2409.05758383218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16718656)-sin(-0.16756470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986056850001528-0.985993853681504)×R²
    abs(-0.03029612--0.03067962)×6.29963200237116e-05×R²
    0.000383500000000002×6.29963200237116e-05×6371000²
    0.000383500000000002×6.29963200237116e-05×40589641000000     		ar = 5803918.22524689m²