Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8112 / 3984
↖ ↑ ↗
← N 67.474922°
W  1.757813°		 ← 935.99 m → N 67.474922°
W  1.735840°		 →
↑
936.15 m
↓
↑
936.15 m
↓
N 67.466503°
W  1.757813°		 ← 936.32 m →
876 387 m²		 N 67.466503°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495147705078125 y=0.243194580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495147705078125 × 214)
    floor (0.495147705078125 × 16384)
    floor (8112.5)     		tx = 8112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243194580078125 × 214)
    floor (0.243194580078125 × 16384)
    floor (3984.5)     		ty = 3984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8112 / 3984 ti = "14/8112/3984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8112/3984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8112 ÷ 214
    8112 ÷ 16384     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3984 ÷ 214
    3984 ÷ 16384     		y = 0.2431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2431640625 × 2 - 1) × π
    0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61374778880957))-π/2
    2×atan(5.02159588624864)-π/2
    2×1.37422794245969-π/2
    2.74845588491938-1.57079632675     		φ = 1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8112 KachelY 3984 -0.03067962 1.17765956 -1.757813 67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 8113 KachelY 3984 -0.03029612 1.17765956 -1.735840 67.474922
    Unten links KachelX 8112 KachelY + 1 3985 -0.03067962 1.17751262 -1.757813 67.466503
    Unten rechts KachelX + 1 8113 KachelY + 1 3985 -0.03029612 1.17751262 -1.735840 67.466503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17765956-1.17751262) × R
    0.00014694000000004 × 6371000     		dl = 936.154740000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17765956-1.17751262) × R
    0.00014694000000004 × 6371000     		dr = 936.154740000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(1.17765956) × R
    0.000383500000000002 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 935.990097392378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(1.17751262) × R
    0.000383500000000002 × 0.383223490096854 × 6371000     		du = 936.321714048611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17765956)-sin(1.17751262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.383223490096854)×R²
    abs(-0.03029612--0.03067962)×0.000135726097631794×R²
    0.000383500000000002×0.000135726097631794×6371000²
    0.000383500000000002×0.000135726097631794×40589641000000     		ar = 876386.790095961m²