Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8109 / 8656
↖ ↑ ↗
← S 10.141932°
W  1.823730°		 ← 2 405.04 m → S 10.141932°
W  1.801758°		 →
↑
2 404.99 m
↓
↑
2 404.99 m
↓
S 10.163560°
W  1.823730°		 ← 2 404.88 m →
5 783 895 m²		 S 10.163560°
W  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494964599609375 y=0.528350830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494964599609375 × 214)
    floor (0.494964599609375 × 16384)
    floor (8109.5)     		tx = 8109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528350830078125 × 214)
    floor (0.528350830078125 × 16384)
    floor (8656.5)     		ty = 8656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8109 / 8656 ti = "14/8109/8656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8109/8656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8109 ÷ 214
    8109 ÷ 16384     		x = 0.49493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8656 ÷ 214
    8656 ÷ 16384     		y = 0.5283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03183010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03183010} λ = -0.03183010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177941771389648))-π/2
    2×atan(0.836991158901916)-π/2
    2×0.696893113182288-π/2
    1.39378622636458-1.57079632675     		φ = -0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03183010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.823730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8109 KachelY 8656 -0.03183010 -0.17701010 -1.823730 -10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 8110 KachelY 8656 -0.03144661 -0.17701010 -1.801758 -10.141932
    Unten links KachelX 8109 KachelY + 1 8657 -0.03183010 -0.17738759 -1.823730 -10.163560
    Unten rechts KachelX + 1 8110 KachelY + 1 8657 -0.03144661 -0.17738759 -1.801758 -10.163560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17701010--0.17738759) × R
    0.000377490000000008 × 6371000     		dl = 2404.98879000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17701010--0.17738759) × R
    0.000377490000000008 × 6371000     		dr = 2404.98879000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03183010--0.03144661) × cos(-0.17701010) × R
    0.00038349 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 2405.03852048896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03183010--0.03144661) × cos(-0.17738759) × R
    0.00038349 × 0.984308033693819 × 6371000     		du = 2404.87594583656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17701010)-sin(-0.17738759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984308033693819)×R²
    abs(-0.03144661--0.03183010)×6.65412853061431e-05×R²
    0.00038349×6.65412853061431e-05×6371000²
    0.00038349×6.65412853061431e-05×40589641000000     		ar = 5783895.2548695m²