Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8108 / 8658
↖ ↑ ↗
← S 10.185188°
W  1.845703°		 ← 2 404.78 m → S 10.185188°
W  1.823730°		 →
↑
2 404.61 m
↓
↑
2 404.61 m
↓
S 10.206813°
W  1.845703°		 ← 2 404.61 m →
5 782 343 m²		 S 10.206813°
W  1.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494903564453125 y=0.528472900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494903564453125 × 214)
    floor (0.494903564453125 × 16384)
    floor (8108.5)     		tx = 8108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528472900390625 × 214)
    floor (0.528472900390625 × 16384)
    floor (8658.5)     		ty = 8658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8108 / 8658 ti = "14/8108/8658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8108/8658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8108 ÷ 214
    8108 ÷ 16384     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8658 ÷ 214
    8658 ÷ 16384     		y = 0.5284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5284423828125 × 2 - 1) × π
    -0.056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.178708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178708761783569))-π/2
    2×atan(0.836349440850491)-π/2
    2×0.696515635787754-π/2
    1.39303127157551-1.57079632675     		φ = -0.17776506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17776506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.185188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8108 KachelY 8658 -0.03221360 -0.17776506 -1.845703 -10.185188
    Oben rechts KachelX + 1 8109 KachelY 8658 -0.03183010 -0.17776506 -1.823730 -10.185188
    Unten links KachelX 8108 KachelY + 1 8659 -0.03221360 -0.17814249 -1.845703 -10.206813
    Unten rechts KachelX + 1 8109 KachelY + 1 8659 -0.03183010 -0.17814249 -1.823730 -10.206813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17776506--0.17814249) × R
    0.000377429999999984 × 6371000     		dl = 2404.6065299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17776506--0.17814249) × R
    0.000377429999999984 × 6371000     		dr = 2404.6065299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03183010) × cos(-0.17776506) × R
    0.000383500000000002 × 0.984241355682506 × 6371000     		do = 2404.77574314993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03183010) × cos(-0.17814249) × R
    0.000383500000000002 × 0.984174544521013 × 6371000     		du = 2404.6125048755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17776506)-sin(-0.17814249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984241355682506-0.984174544521013)×R²
    abs(-0.03183010--0.03221360)×6.68111614930966e-05×R²
    0.000383500000000002×6.68111614930966e-05×6371000²
    0.000383500000000002×6.68111614930966e-05×40589641000000     		ar = 5782343.26189649m²