Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8107 / 7782
↖ ↑ ↗
← N 79.586394°
W135.466919°		 ← 110.40 m → N 79.586394°
W135.461426°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
N 79.585401°
W135.466919°		 ← 110.41 m →
12 190 m²		 N 79.585401°
W135.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123710632324219 y=0.118751525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123710632324219 × 216)
    floor (0.123710632324219 × 65536)
    floor (8107.5)     		tx = 8107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118751525878906 × 216)
    floor (0.118751525878906 × 65536)
    floor (7782.5)     		ty = 7782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8107 / 7782 ti = "16/8107/7782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8107/7782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8107 ÷ 216
    8107 ÷ 65536     		x = 0.123703002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7782 ÷ 216
    7782 ÷ 65536     		y = 0.118743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123703002929688 × 2 - 1) × π
    -0.752593994140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36434376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118743896484375 × 2 - 1) × π
    0.76251220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39550274781345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36434376} λ = -2.36434376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39550274781345))-π/2
    2×atan(10.9737136830398)-π/2
    2×1.47992046610912-π/2
    2.95984093221824-1.57079632675     		φ = 1.38904461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36434376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.466919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38904461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.586394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8107 KachelY 7782 -2.36434376 1.38904461 -135.466919 79.586394
    Oben rechts KachelX + 1 8108 KachelY 7782 -2.36424789 1.38904461 -135.461426 79.586394
    Unten links KachelX 8107 KachelY + 1 7783 -2.36434376 1.38902728 -135.466919 79.585401
    Unten rechts KachelX + 1 8108 KachelY + 1 7783 -2.36424789 1.38902728 -135.461426 79.585401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38904461-1.38902728) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38904461-1.38902728) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36434376--2.36424789) × cos(1.38904461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180752713387545 × 6371000     		do = 110.401546731425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36434376--2.36424789) × cos(1.38902728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180769757910595 × 6371000     		du = 110.41195731765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38904461)-sin(1.38902728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180752713387545-0.180769757910595)×R²
    abs(-2.36424789--2.36434376)×1.70445230502914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70445230502914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70445230502914e-05×40589641000000     		ar = 12189.9465598146m²