Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8105 / 8635
↖ ↑ ↗
← S  9.687399°
W  1.911621°		 ← 2 408.38 m → S  9.687399°
W  1.889649°		 →
↑
2 408.30 m
↓
↑
2 408.30 m
↓
S  9.709057°
W  1.911621°		 ← 2 408.22 m →
5 799 908 m²		 S  9.709057°
W  1.889649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494720458984375 y=0.527069091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494720458984375 × 214)
    floor (0.494720458984375 × 16384)
    floor (8105.5)     		tx = 8105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527069091796875 × 214)
    floor (0.527069091796875 × 16384)
    floor (8635.5)     		ty = 8635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8105 / 8635 ti = "14/8105/8635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8105/8635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8105 ÷ 214
    8105 ÷ 16384     		x = 0.49468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8635 ÷ 214
    8635 ÷ 16384     		y = 0.52703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.0106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03336408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.169888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03336408} λ = -0.03336408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169888372253479))-π/2
    2×atan(0.843758998255225)-π/2
    2×0.700859664115189-π/2
    1.40171932823038-1.57079632675     		φ = -0.16907700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03336408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.911621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16907700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.687399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8105 KachelY 8635 -0.03336408 -0.16907700 -1.911621 -9.687399
    Oben rechts KachelX + 1 8106 KachelY 8635 -0.03298059 -0.16907700 -1.889649 -9.687399
    Unten links KachelX 8105 KachelY + 1 8636 -0.03336408 -0.16945501 -1.911621 -9.709057
    Unten rechts KachelX + 1 8106 KachelY + 1 8636 -0.03298059 -0.16945501 -1.889649 -9.709057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16907700--0.16945501) × R
    0.000378009999999984 × 6371000     		dl = 2408.3017099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16907700--0.16945501) × R
    0.000378009999999984 × 6371000     		dr = 2408.3017099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03336408--0.03298059) × cos(-0.16907700) × R
    0.00038349 × 0.985740502371485 × 6371000     		do = 2408.37577449604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03336408--0.03298059) × cos(-0.16945501) × R
    0.00038349 × 0.985676823227132 × 6371000     		du = 2408.22019266875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16907700)-sin(-0.16945501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985740502371485-0.985676823227132)×R²
    abs(-0.03298059--0.03336408)×6.36791443529017e-05×R²
    0.00038349×6.36791443529017e-05×6371000²
    0.00038349×6.36791443529017e-05×40589641000000     		ar = 5799908.22111394m²