Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8104 / 8648
↖ ↑ ↗
← S  9.968851°
W  1.933594°		 ← 2 406.39 m → S  9.968851°
W  1.911621°		 →
↑
2 406.26 m
↓
↑
2 406.26 m
↓
S  9.990491°
W  1.933594°		 ← 2 406.23 m →
5 790 215 m²		 S  9.990491°
W  1.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494659423828125 y=0.527862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494659423828125 × 214)
    floor (0.494659423828125 × 16384)
    floor (8104.5)     		tx = 8104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527862548828125 × 214)
    floor (0.527862548828125 × 16384)
    floor (8648.5)     		ty = 8648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8104 / 8648 ti = "14/8104/8648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8104/8648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8104 ÷ 214
    8104 ÷ 16384     		x = 0.49462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8648 ÷ 214
    8648 ÷ 16384     		y = 0.52783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03374758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.174873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03374758} λ = -0.03374758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174873809813965))-π/2
    2×atan(0.839562958690849)-π/2
    2×0.698403530520625-π/2
    1.39680706104125-1.57079632675     		φ = -0.17398927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03374758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17398927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8104 KachelY 8648 -0.03374758 -0.17398927 -1.933594 -9.968851
    Oben rechts KachelX + 1 8105 KachelY 8648 -0.03336408 -0.17398927 -1.911621 -9.968851
    Unten links KachelX 8104 KachelY + 1 8649 -0.03374758 -0.17436696 -1.933594 -9.990491
    Unten rechts KachelX + 1 8105 KachelY + 1 8649 -0.03336408 -0.17436696 -1.911621 -9.990491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17398927--0.17436696) × R
    0.000377689999999986 × 6371000     		dl = 2406.26298999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17398927--0.17436696) × R
    0.000377689999999986 × 6371000     		dr = 2406.26298999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03374758--0.03336408) × cos(-0.17398927) × R
    0.000383500000000002 × 0.984902012206852 × 6371000     		do = 2406.38991103175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03374758--0.03336408) × cos(-0.17436696) × R
    0.000383500000000002 × 0.984836559003521 × 6371000     		du = 2406.2299906273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17398927)-sin(-0.17436696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984902012206852-0.984836559003521)×R²
    abs(-0.03336408--0.03374758)×6.54532033309563e-05×R²
    0.000383500000000002×6.54532033309563e-05×6371000²
    0.000383500000000002×6.54532033309563e-05×40589641000000     		ar = 5790214.64598085m²