Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8102 / 8657
↖ ↑ ↗
← S 10.163560°
W  1.977539°		 ← 2 404.94 m → S 10.163560°
W  1.955566°		 →
↑
2 404.86 m
↓
↑
2 404.86 m
↓
S 10.185188°
W  1.977539°		 ← 2 404.78 m →
5 783 348 m²		 S 10.185188°
W  1.955566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494537353515625 y=0.528411865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494537353515625 × 214)
    floor (0.494537353515625 × 16384)
    floor (8102.5)     		tx = 8102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528411865234375 × 214)
    floor (0.528411865234375 × 16384)
    floor (8657.5)     		ty = 8657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8102 / 8657 ti = "14/8102/8657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8102/8657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8102 ÷ 214
    8102 ÷ 16384     		x = 0.4945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8657 ÷ 214
    8657 ÷ 16384     		y = 0.52838134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03451457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.178325266586609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03451457} λ = -0.03451457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178325266586609))-π/2
    2×atan(0.836670238352257)-π/2
    2×0.696704368098945-π/2
    1.39340873619789-1.57079632675     		φ = -0.17738759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03451457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17738759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.163560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8102 KachelY 8657 -0.03451457 -0.17738759 -1.977539 -10.163560
    Oben rechts KachelX + 1 8103 KachelY 8657 -0.03413107 -0.17738759 -1.955566 -10.163560
    Unten links KachelX 8102 KachelY + 1 8658 -0.03451457 -0.17776506 -1.977539 -10.185188
    Unten rechts KachelX + 1 8103 KachelY + 1 8658 -0.03413107 -0.17776506 -1.955566 -10.185188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17738759--0.17776506) × R
    0.000377469999999991 × 6371000     		dl = 2404.86136999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17738759--0.17776506) × R
    0.000377469999999991 × 6371000     		dr = 2404.86136999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03451457--0.03413107) × cos(-0.17738759) × R
    0.000383500000000002 × 0.984308033693819 × 6371000     		do = 2404.9386561014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03451457--0.03413107) × cos(-0.17776506) × R
    0.000383500000000002 × 0.984241355682506 × 6371000     		du = 2404.77574314993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17738759)-sin(-0.17776506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984308033693819-0.984241355682506)×R²
    abs(-0.03413107--0.03451457)×6.66780113135479e-05×R²
    0.000383500000000002×6.66780113135479e-05×6371000²
    0.000383500000000002×6.66780113135479e-05×40589641000000     		ar = 5783348.24841504m²