Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8100 / 8660
↖ ↑ ↗
← S 10.228437°
W  2.021484°		 ← 2 404.45 m → S 10.228437°
W  1.999512°		 →
↑
2 404.35 m
↓
↑
2 404.35 m
↓
S 10.250060°
W  2.021484°		 ← 2 404.29 m →
5 780 944 m²		 S 10.250060°
W  1.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494415283203125 y=0.528594970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494415283203125 × 214)
    floor (0.494415283203125 × 16384)
    floor (8100.5)     		tx = 8100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528594970703125 × 214)
    floor (0.528594970703125 × 16384)
    floor (8660.5)     		ty = 8660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8100 / 8660 ti = "14/8100/8660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8100/8660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8100 ÷ 214
    8100 ÷ 16384     		x = 0.494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8660 ÷ 214
    8660 ÷ 16384     		y = 0.528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.01123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03528156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528564453125 × 2 - 1) × π
    -0.05712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03528156} λ = -0.03528156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17947575217749))-π/2
    2×atan(0.835708214801942)-π/2
    2×0.696138209585918-π/2
    1.39227641917184-1.57079632675     		φ = -0.17851991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03528156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17851991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.228437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8100 KachelY 8660 -0.03528156 -0.17851991 -2.021484 -10.228437
    Oben rechts KachelX + 1 8101 KachelY 8660 -0.03489806 -0.17851991 -1.999512 -10.228437
    Unten links KachelX 8100 KachelY + 1 8661 -0.03528156 -0.17889730 -2.021484 -10.250060
    Unten rechts KachelX + 1 8101 KachelY + 1 8661 -0.03489806 -0.17889730 -1.999512 -10.250060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17851991--0.17889730) × R
    0.000377390000000005 × 6371000     		dl = 2404.35169000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17851991--0.17889730) × R
    0.000377390000000005 × 6371000     		dr = 2404.35169000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03528156--0.03489806) × cos(-0.17851991) × R
    0.000383499999999995 × 0.984107594936239 × 6371000     		do = 2404.44892839439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03528156--0.03489806) × cos(-0.17889730) × R
    0.000383499999999995 × 0.984040510507755 × 6371000     		du = 2404.28502245259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17851991)-sin(-0.17889730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984107594936239-0.984040510507755)×R²
    abs(-0.03489806--0.03528156)×6.7084428483799e-05×R²
    0.000383499999999995×6.7084428483799e-05×6371000²
    0.000383499999999995×6.7084428483799e-05×40589641000000     		ar = 5780943.86935152m²