Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 810 / 776
↖ ↑ ↗
← S 67.609220°
E104.765625°		 ← 14.891 km → S 67.609220°
E105.117187°		 →
↑
14.849 km
↓
↑
14.849 km
↓
S 67.742759°
E104.765625°		 ← 14.807 km →
220.488 km²		 S 67.742759°
E105.117187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79150390625 y=0.75830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79150390625 × 210)
    floor (0.79150390625 × 1024)
    floor (810.5)     		tx = 810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75830078125 × 210)
    floor (0.75830078125 × 1024)
    floor (776.5)     		ty = 776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 810 / 776 ti = "10/810/776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/810/776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 810 ÷ 210
    810 ÷ 1024     		x = 0.791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 776 ÷ 210
    776 ÷ 1024     		y = 0.7578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791015625 × 2 - 1) × π
    0.58203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.82850510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7578125 × 2 - 1) × π
    -0.515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82850510} λ = 1.82850510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61988371196094))-π/2
    2×atan(0.197921713673399)-π/2
    2×0.195396411274361-π/2
    0.390792822548722-1.57079632675     		φ = -1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82850510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 810 KachelY 776 1.82850510 -1.18000350 104.765625 -67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 811 KachelY 776 1.83464102 -1.18000350 105.117187 -67.609220
    Unten links KachelX 810 KachelY + 1 777 1.82850510 -1.18233419 104.765625 -67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 811 KachelY + 1 777 1.83464102 -1.18233419 105.117187 -67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18000350--1.18233419) × R
    0.00233068999999997 × 6371000     		dl = 14848.8259899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18000350--1.18233419) × R
    0.00233068999999997 × 6371000     		dr = 14848.8259899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82850510-1.83464102) × cos(-1.18000350) × R
    0.00613591999999996 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 14890.9662797442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82850510-1.83464102) × cos(-1.18233419) × R
    0.00613591999999996 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 14806.6838187764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18000350)-sin(-1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.378765582495472)×R²
    abs(1.83464102-1.82850510)×0.00215600574803299×R²
    0.00613591999999996×0.00215600574803299×6371000²
    0.00613591999999996×0.00215600574803299×40589641000000     		ar = 220487719.121998m²