Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8098 / 8661
↖ ↑ ↗
← S 10.250060°
W  2.065430°		 ← 2 404.29 m → S 10.250060°
W  2.043457°		 →
↑
2 404.16 m
↓
↑
2 404.16 m
↓
S 10.271681°
W  2.065430°		 ← 2 404.12 m →
5 780 090 m²		 S 10.271681°
W  2.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494293212890625 y=0.528656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494293212890625 × 214)
    floor (0.494293212890625 × 16384)
    floor (8098.5)     		tx = 8098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528656005859375 × 214)
    floor (0.528656005859375 × 16384)
    floor (8661.5)     		ty = 8661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8098 / 8661 ti = "14/8098/8661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8098/8661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8098 ÷ 214
    8098 ÷ 16384     		x = 0.4942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8661 ÷ 214
    8661 ÷ 16384     		y = 0.52862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03604855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.0572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.179859247374451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03604855} λ = -0.03604855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.179859247374451))-π/2
    2×atan(0.835387786160855)-π/2
    2×0.695949515747295-π/2
    1.39189903149459-1.57079632675     		φ = -0.17889730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03604855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17889730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.250060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8098 KachelY 8661 -0.03604855 -0.17889730 -2.065430 -10.250060
    Oben rechts KachelX + 1 8099 KachelY 8661 -0.03566505 -0.17889730 -2.043457 -10.250060
    Unten links KachelX 8098 KachelY + 1 8662 -0.03604855 -0.17927466 -2.065430 -10.271681
    Unten rechts KachelX + 1 8099 KachelY + 1 8662 -0.03566505 -0.17927466 -2.043457 -10.271681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17889730--0.17927466) × R
    0.000377359999999993 × 6371000     		dl = 2404.16055999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17889730--0.17927466) × R
    0.000377359999999993 × 6371000     		dr = 2404.16055999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03604855--0.03566505) × cos(-0.17889730) × R
    0.000383500000000002 × 0.984040510507755 × 6371000     		do = 2404.28502245263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03604855--0.03566505) × cos(-0.17927466) × R
    0.000383500000000002 × 0.98397329127854 × 6371000     		du = 2404.12078715511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17889730)-sin(-0.17927466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984040510507755-0.98397329127854)×R²
    abs(-0.03566505--0.03604855)×6.7219229214821e-05×R²
    0.000383500000000002×6.7219229214821e-05×6371000²
    0.000383500000000002×6.7219229214821e-05×40589641000000     		ar = 5780089.87055722m²