Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8091 / 7783
↖ ↑ ↗
← N 79.585401°
W135.554809°		 ← 110.41 m → N 79.585401°
W135.549316°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
N 79.584407°
W135.554809°		 ← 110.42 m →
12 198 m²		 N 79.584407°
W135.549316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123466491699219 y=0.118766784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123466491699219 × 216)
    floor (0.123466491699219 × 65536)
    floor (8091.5)     		tx = 8091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118766784667969 × 216)
    floor (0.118766784667969 × 65536)
    floor (7783.5)     		ty = 7783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8091 / 7783 ti = "16/8091/7783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8091/7783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8091 ÷ 216
    8091 ÷ 65536     		x = 0.123458862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7783 ÷ 216
    7783 ÷ 65536     		y = 0.118759155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123458862304688 × 2 - 1) × π
    -0.753082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36587774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118759155273438 × 2 - 1) × π
    0.762481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39540687401421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36587774} λ = -2.36587774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39540687401421))-π/2
    2×atan(10.9726616418497)-π/2
    2×1.4799118009757-π/2
    2.95982360195139-1.57079632675     		φ = 1.38902728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36587774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.554809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38902728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.585401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8091 KachelY 7783 -2.36587774 1.38902728 -135.554809 79.585401
    Oben rechts KachelX + 1 8092 KachelY 7783 -2.36578187 1.38902728 -135.549316 79.585401
    Unten links KachelX 8091 KachelY + 1 7784 -2.36587774 1.38900994 -135.554809 79.584407
    Unten rechts KachelX + 1 8092 KachelY + 1 7784 -2.36578187 1.38900994 -135.549316 79.584407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38902728-1.38900994) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dl = 110.47314000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38902728-1.38900994) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dr = 110.47314000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36587774--2.36578187) × cos(1.38902728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180769757910595 × 6371000     		do = 110.41195731765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36587774--2.36578187) × cos(1.38900994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180786812214578 × 6371000     		du = 110.422373877949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38902728)-sin(1.38900994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180769757910595-0.180786812214578)×R²
    abs(-2.36578187--2.36587774)×1.70543039831328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70543039831328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70543039831328e-05×40589641000000     		ar = 12198.1309934713m²