Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80907 / 19465
↖ ↑ ↗
← N 77.460663°
E 42.217712°		 ← 66.31 m → N 77.460663°
E 42.220459°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.460067°
E 42.217712°		 ← 66.31 m →
4 398 m²		 N 77.460067°
E 42.220459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617275238037109 y=0.148509979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617275238037109 × 217)
    floor (0.617275238037109 × 131072)
    floor (80907.5)     		tx = 80907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148509979248047 × 217)
    floor (0.148509979248047 × 131072)
    floor (19465.5)     		ty = 19465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80907 / 19465 ti = "17/80907/19465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80907/19465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80907 ÷ 217
    80907 ÷ 131072     		x = 0.617271423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19465 ÷ 217
    19465 ÷ 131072     		y = 0.148506164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617271423339844 × 2 - 1) × π
    0.234542846679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.73683808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148506164550781 × 2 - 1) × π
    0.702987670898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.20850090239561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73683808} λ = 0.73683808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20850090239561))-π/2
    2×atan(9.10206128216243)-π/2
    2×1.46136996685442-π/2
    2.92273993370883-1.57079632675     		φ = 1.35194361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73683808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.217712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35194361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.460663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80907 KachelY 19465 0.73683808 1.35194361 42.217712 77.460663
    Oben rechts KachelX + 1 80908 KachelY 19465 0.73688602 1.35194361 42.220459 77.460663
    Unten links KachelX 80907 KachelY + 1 19466 0.73683808 1.35193320 42.217712 77.460067
    Unten rechts KachelX + 1 80908 KachelY + 1 19466 0.73688602 1.35193320 42.220459 77.460067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35194361-1.35193320) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35194361-1.35193320) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73683808-0.73688602) × cos(1.35194361) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21710984894966 × 6371000     		do = 66.3109362768481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73683808-0.73688602) × cos(1.35193320) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217120010630021 × 6371000     		du = 66.314039915592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35194361)-sin(1.35193320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21710984894966-0.217120010630021)×R²
    abs(0.73688602-0.73683808)×1.01616803608873e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01616803608873e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01616803608873e-05×40589641000000     		ar = 4397.98412993044m²