Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80906 / 19459
↖ ↑ ↗
← N 77.464240°
E 42.214966°		 ← 66.28 m → N 77.464240°
E 42.217712°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.463644°
E 42.214966°		 ← 66.28 m →
4 392 m²		 N 77.463644°
E 42.217712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617267608642578 y=0.148464202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617267608642578 × 217)
    floor (0.617267608642578 × 131072)
    floor (80906.5)     		tx = 80906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148464202880859 × 217)
    floor (0.148464202880859 × 131072)
    floor (19459.5)     		ty = 19459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80906 / 19459 ti = "17/80906/19459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80906/19459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80906 ÷ 217
    80906 ÷ 131072     		x = 0.617263793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19459 ÷ 217
    19459 ÷ 131072     		y = 0.148460388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617263793945312 × 2 - 1) × π
    0.234527587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73679015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148460388183594 × 2 - 1) × π
    0.703079223632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.20878852379333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73679015} λ = 0.73679015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20878852379333))-π/2
    2×atan(9.10467960627551)-π/2
    2×1.46140118519129-π/2
    2.92280237038258-1.57079632675     		φ = 1.35200604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73679015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.214966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35200604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.464240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80906 KachelY 19459 0.73679015 1.35200604 42.214966 77.464240
    Oben rechts KachelX + 1 80907 KachelY 19459 0.73683808 1.35200604 42.217712 77.464240
    Unten links KachelX 80906 KachelY + 1 19460 0.73679015 1.35199564 42.214966 77.463644
    Unten rechts KachelX + 1 80907 KachelY + 1 19460 0.73683808 1.35199564 42.217712 77.463644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35200604-1.35199564) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dl = 66.2584000004907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35200604-1.35199564) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dr = 66.2584000004907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73679015-0.73683808) × cos(1.35200604) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.217048907658272 × 6371000     		do = 66.2784950516994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73679015-0.73683808) × cos(1.35199564) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.21705905971813 × 6371000     		du = 66.2815951053065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35200604)-sin(1.35199564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217048907658272-0.21705905971813)×R²
    abs(0.73683808-0.73679015)×1.01520598586313e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.01520598586313e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.01520598586313e-05×40589641000000     		ar = 4391.60973878731m²