Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80901 / 19461
↖ ↑ ↗
← N 77.463048°
E 42.201233°		 ← 66.30 m → N 77.463048°
E 42.203980°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.462452°
E 42.201233°		 ← 66.30 m →
4 393 m²		 N 77.462452°
E 42.203980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617229461669922 y=0.148479461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617229461669922 × 217)
    floor (0.617229461669922 × 131072)
    floor (80901.5)     		tx = 80901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148479461669922 × 217)
    floor (0.148479461669922 × 131072)
    floor (19461.5)     		ty = 19461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80901 / 19461 ti = "17/80901/19461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80901/19461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80901 ÷ 217
    80901 ÷ 131072     		x = 0.617225646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19461 ÷ 217
    19461 ÷ 131072     		y = 0.148475646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617225646972656 × 2 - 1) × π
    0.234451293945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.73655046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148475646972656 × 2 - 1) × π
    0.703048706054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.20869264999409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73655046} λ = 0.73655046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20869264999409))-π/2
    2×atan(9.10380674789359)-π/2
    2×1.46139078005287-π/2
    2.92278156010573-1.57079632675     		φ = 1.35198523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73655046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.201233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35198523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.463048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80901 KachelY 19461 0.73655046 1.35198523 42.201233 77.463048
    Oben rechts KachelX + 1 80902 KachelY 19461 0.73659840 1.35198523 42.203980 77.463048
    Unten links KachelX 80901 KachelY + 1 19462 0.73655046 1.35197483 42.201233 77.462452
    Unten rechts KachelX + 1 80902 KachelY + 1 19462 0.73659840 1.35197483 42.203980 77.462452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35198523-1.35197483) × R
    1.0399999999855e-05 × 6371000     		dl = 66.258399999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35198523-1.35197483) × R
    1.0399999999855e-05 × 6371000     		dr = 66.258399999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73655046-0.73659840) × cos(1.35198523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217069221516074 × 6371000     		do = 66.2985276127273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73655046-0.73659840) × cos(1.35197483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217079373528954 × 6371000     		du = 66.3016282987738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35198523)-sin(1.35197483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217069221516074-0.217079373528954)×R²
    abs(0.73659840-0.73655046)×1.01520128805155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01520128805155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01520128805155e-05×40589641000000     		ar = 4392.93708521695m²