Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80895 / 19448
↖ ↑ ↗
← N 77.470796°
E 42.184753°		 ← 66.26 m → N 77.470796°
E 42.187500°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.470200°
E 42.184753°		 ← 66.26 m →
4 390 m²		 N 77.470200°
E 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617183685302734 y=0.148380279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617183685302734 × 217)
    floor (0.617183685302734 × 131072)
    floor (80895.5)     		tx = 80895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148380279541016 × 217)
    floor (0.148380279541016 × 131072)
    floor (19448.5)     		ty = 19448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80895 / 19448 ti = "17/80895/19448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80895/19448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80895 ÷ 217
    80895 ÷ 131072     		x = 0.617179870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19448 ÷ 217
    19448 ÷ 131072     		y = 0.14837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617179870605469 × 2 - 1) × π
    0.234359741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.73626284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14837646484375 × 2 - 1) × π
    0.7032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20931582968915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73626284} λ = 0.73626284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20931582968915))-π/2
    2×atan(9.10948182351892)-π/2
    2×1.4614583960491-π/2
    2.92291679209819-1.57079632675     		φ = 1.35212047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73626284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.184753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35212047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.470796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80895 KachelY 19448 0.73626284 1.35212047 42.184753 77.470796
    Oben rechts KachelX + 1 80896 KachelY 19448 0.73631078 1.35212047 42.187500 77.470796
    Unten links KachelX 80895 KachelY + 1 19449 0.73626284 1.35211007 42.184753 77.470200
    Unten rechts KachelX + 1 80896 KachelY + 1 19449 0.73631078 1.35211007 42.187500 77.470200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35212047-1.35211007) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dl = 66.2584000004907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35212047-1.35211007) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dr = 66.2584000004907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73626284-0.73631078) × cos(1.35212047) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216937204165086 × 6371000     		do = 66.2582061157623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73626284-0.73631078) × cos(1.35211007) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216947356483188 × 6371000     		du = 66.2613068950314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35212047)-sin(1.35211007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216937204165086-0.216947356483188)×R²
    abs(0.73631078-0.73626284)×1.01523181020302e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01523181020302e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01523181020302e-05×40589641000000     		ar = 4390.26545047247m²