Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80891 / 19434
↖ ↑ ↗
← N 77.479135°
E 42.173767°		 ← 66.21 m → N 77.479135°
E 42.176514°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.478540°
E 42.173767°		 ← 66.22 m →
4 383 m²		 N 77.478540°
E 42.176514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617153167724609 y=0.148273468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617153167724609 × 217)
    floor (0.617153167724609 × 131072)
    floor (80891.5)     		tx = 80891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148273468017578 × 217)
    floor (0.148273468017578 × 131072)
    floor (19434.5)     		ty = 19434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80891 / 19434 ti = "17/80891/19434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80891/19434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80891 ÷ 217
    80891 ÷ 131072     		x = 0.617149353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19434 ÷ 217
    19434 ÷ 131072     		y = 0.148269653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617149353027344 × 2 - 1) × π
    0.234298706054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.73607109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148269653320312 × 2 - 1) × π
    0.703460693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20998694628383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73607109} λ = 0.73607109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20998694628383))-π/2
    2×atan(9.11559739984247)-π/2
    2×1.46153116728917-π/2
    2.92306233457833-1.57079632675     		φ = 1.35226601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73607109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.173767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35226601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.479135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80891 KachelY 19434 0.73607109 1.35226601 42.173767 77.479135
    Oben rechts KachelX + 1 80892 KachelY 19434 0.73611903 1.35226601 42.176514 77.479135
    Unten links KachelX 80891 KachelY + 1 19435 0.73607109 1.35225562 42.173767 77.478540
    Unten rechts KachelX + 1 80892 KachelY + 1 19435 0.73611903 1.35225562 42.176514 77.478540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35226601-1.35225562) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dl = 66.1946899994632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35226601-1.35225562) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dr = 66.1946899994632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73607109-0.73611903) × cos(1.35226601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216795127821473 × 6371000     		do = 66.2148123432247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73607109-0.73611903) × cos(1.35225562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216805270705686 × 6371000     		du = 66.2179102411411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35226601)-sin(1.35225562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216795127821473-0.216805270705686)×R²
    abs(0.73611903-0.73607109)×1.01428842129436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01428842129436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01428842129436e-05×40589641000000     		ar = 4383.17150872721m²