Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8089 / 8641
↖ ↑ ↗
← S  9.817329°
W  2.263184°		 ← 2 407.50 m → S  9.817329°
W  2.241211°		 →
↑
2 407.41 m
↓
↑
2 407.41 m
↓
S  9.838980°
W  2.263184°		 ← 2 407.34 m →
5 795 649 m²		 S  9.838980°
W  2.241211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493743896484375 y=0.527435302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493743896484375 × 214)
    floor (0.493743896484375 × 16384)
    floor (8089.5)     		tx = 8089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527435302734375 × 214)
    floor (0.527435302734375 × 16384)
    floor (8641.5)     		ty = 8641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8089 / 8641 ti = "14/8089/8641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8089/8641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8089 ÷ 214
    8089 ÷ 16384     		x = 0.49371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8641 ÷ 214
    8641 ÷ 16384     		y = 0.52740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03950001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.172189343435242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03950001} λ = -0.03950001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172189343435242))-π/2
    2×atan(0.841819765031369)-π/2
    2×0.699725804366637-π/2
    1.39945160873327-1.57079632675     		φ = -0.17134472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03950001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.263184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17134472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.817329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8089 KachelY 8641 -0.03950001 -0.17134472 -2.263184 -9.817329
    Oben rechts KachelX + 1 8090 KachelY 8641 -0.03911651 -0.17134472 -2.241211 -9.817329
    Unten links KachelX 8089 KachelY + 1 8642 -0.03950001 -0.17172259 -2.263184 -9.838980
    Unten rechts KachelX + 1 8090 KachelY + 1 8642 -0.03911651 -0.17172259 -2.241211 -9.838980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17134472--0.17172259) × R
    0.000377870000000002 × 6371000     		dl = 2407.40977000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17134472--0.17172259) × R
    0.000377870000000002 × 6371000     		dr = 2407.40977000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03950001--0.03911651) × cos(-0.17134472) × R
    0.000383500000000002 × 0.985356372987213 × 6371000     		do = 2407.50004095765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03950001--0.03911651) × cos(-0.17172259) × R
    0.000383500000000002 × 0.985291872960495 × 6371000     		du = 2407.34244942912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17134472)-sin(-0.17172259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985356372987213-0.985291872960495)×R²
    abs(-0.03911651--0.03950001)×6.4500026717762e-05×R²
    0.000383500000000002×6.4500026717762e-05×6371000²
    0.000383500000000002×6.4500026717762e-05×40589641000000     		ar = 5795649.49514528m²