Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80888 / 19368
↖ ↑ ↗
← N 77.518374°
E 42.165527°		 ← 66.01 m → N 77.518374°
E 42.168274°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.517780°
E 42.165527°		 ← 66.01 m →
4 357 m²		 N 77.517780°
E 42.168274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617130279541016 y=0.147769927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617130279541016 × 217)
    floor (0.617130279541016 × 131072)
    floor (80888.5)     		tx = 80888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147769927978516 × 217)
    floor (0.147769927978516 × 131072)
    floor (19368.5)     		ty = 19368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80888 / 19368 ti = "17/80888/19368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80888/19368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80888 ÷ 217
    80888 ÷ 131072     		x = 0.61712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19368 ÷ 217
    19368 ÷ 131072     		y = 0.14776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14776611328125 × 2 - 1) × π
    0.7044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21315078165875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73592728} λ = 0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21315078165875))-π/2
    2×atan(9.144483320413)-π/2
    2×1.46187359023871-π/2
    2.92374718047743-1.57079632675     		φ = 1.35295085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35295085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.518374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80888 KachelY 19368 0.73592728 1.35295085 42.165527 77.518374
    Oben rechts KachelX + 1 80889 KachelY 19368 0.73597522 1.35295085 42.168274 77.518374
    Unten links KachelX 80888 KachelY + 1 19369 0.73592728 1.35294049 42.165527 77.517780
    Unten rechts KachelX + 1 80889 KachelY + 1 19369 0.73597522 1.35294049 42.168274 77.517780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35295085-1.35294049) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35295085-1.35294049) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73592728-0.73597522) × cos(1.35295085) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216126524499669 × 6371000     		do = 66.0106036790491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73592728-0.73597522) × cos(1.35294049) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216136639633249 × 6371000     		du = 66.013693101208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35295085)-sin(1.35294049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216126524499669-0.216136639633249)×R²
    abs(0.73597522-0.73592728)×1.01151335799299e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01151335799299e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01151335799299e-05×40589641000000     		ar = 4357.03679697096m²