Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80888 / 19336
↖ ↑ ↗
← N 77.537355°
E 42.165527°		 ← 65.91 m → N 77.537355°
E 42.168274°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.536762°
E 42.165527°		 ← 65.91 m →
4 346 m²		 N 77.536762°
E 42.168274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617130279541016 y=0.147525787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617130279541016 × 217)
    floor (0.617130279541016 × 131072)
    floor (80888.5)     		tx = 80888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147525787353516 × 217)
    floor (0.147525787353516 × 131072)
    floor (19336.5)     		ty = 19336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80888 / 19336 ti = "17/80888/19336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80888/19336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80888 ÷ 217
    80888 ÷ 131072     		x = 0.61712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19336 ÷ 217
    19336 ÷ 131072     		y = 0.14752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14752197265625 × 2 - 1) × π
    0.7049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21468476244659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73592728} λ = 0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21468476244659))-π/2
    2×atan(9.15852154657309)-π/2
    2×1.46203923312631-π/2
    2.92407846625263-1.57079632675     		φ = 1.35328214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35328214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.537355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80888 KachelY 19336 0.73592728 1.35328214 42.165527 77.537355
    Oben rechts KachelX + 1 80889 KachelY 19336 0.73597522 1.35328214 42.168274 77.537355
    Unten links KachelX 80888 KachelY + 1 19337 0.73592728 1.35327179 42.165527 77.536762
    Unten rechts KachelX + 1 80889 KachelY + 1 19337 0.73597522 1.35327179 42.168274 77.536762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35328214-1.35327179) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dl = 65.9398499995973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35328214-1.35327179) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dr = 65.9398499995973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73592728-0.73597522) × cos(1.35328214) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.215803052563637 × 6371000     		do = 65.9118070236171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73592728-0.73597522) × cos(1.35327179) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.215813158674114 × 6371000     		du = 65.914893689888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35328214)-sin(1.35327179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215803052563637-0.215813158674114)×R²
    abs(0.73597522-0.73592728)×1.01061104770261e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01061104770261e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01061104770261e-05×40589641000000     		ar = 4346.31643556317m²