Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80887 / 19369
↖ ↑ ↗
← N 77.517780°
E 42.162781°		 ← 66 m → N 77.517780°
E 42.165527°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.517186°
E 42.162781°		 ← 66 m →
4 356 m²		 N 77.517186°
E 42.165527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617122650146484 y=0.147777557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617122650146484 × 217)
    floor (0.617122650146484 × 131072)
    floor (80887.5)     		tx = 80887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147777557373047 × 217)
    floor (0.147777557373047 × 131072)
    floor (19369.5)     		ty = 19369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80887 / 19369 ti = "17/80887/19369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80887/19369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80887 ÷ 217
    80887 ÷ 131072     		x = 0.617118835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19369 ÷ 217
    19369 ÷ 131072     		y = 0.147773742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617118835449219 × 2 - 1) × π
    0.234237670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.73587935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147773742675781 × 2 - 1) × π
    0.704452514648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.21310284475913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73587935} λ = 0.73587935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21310284475913))-π/2
    2×atan(9.14404497274059)-π/2
    2×1.46186840989981-π/2
    2.92373681979963-1.57079632675     		φ = 1.35294049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73587935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.162781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35294049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.517780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80887 KachelY 19369 0.73587935 1.35294049 42.162781 77.517780
    Oben rechts KachelX + 1 80888 KachelY 19369 0.73592728 1.35294049 42.165527 77.517780
    Unten links KachelX 80887 KachelY + 1 19370 0.73587935 1.35293013 42.162781 77.517186
    Unten rechts KachelX + 1 80888 KachelY + 1 19370 0.73592728 1.35293013 42.165527 77.517186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35294049-1.35293013) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dl = 66.0035599992102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35294049-1.35293013) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dr = 66.0035599992102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73587935-0.73592728) × cos(1.35294049) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.216136639633249 × 6371000     		do = 65.9999230356749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73587935-0.73592728) × cos(1.35293013) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.216146754743631 × 6371000     		du = 66.0030118063147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35294049)-sin(1.35293013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216136639633249-0.216146754743631)×R²
    abs(0.73592728-0.73587935)×1.01151103818753e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.01151103818753e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.01151103818753e-05×40589641000000     		ar = 4356.33181511292m²