Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8088 / 8634
↖ ↑ ↗
← S  9.665738°
W  2.285156°		 ← 2 408.53 m → S  9.665738°
W  2.263184°		 →
↑
2 408.49 m
↓
↑
2 408.49 m
↓
S  9.687399°
W  2.285156°		 ← 2 408.38 m →
5 800 743 m²		 S  9.687399°
W  2.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493682861328125 y=0.527008056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493682861328125 × 214)
    floor (0.493682861328125 × 16384)
    floor (8088.5)     		tx = 8088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527008056640625 × 214)
    floor (0.527008056640625 × 16384)
    floor (8634.5)     		ty = 8634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8088 / 8634 ti = "14/8088/8634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8088/8634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8088 ÷ 214
    8088 ÷ 16384     		x = 0.49365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8634 ÷ 214
    8634 ÷ 16384     		y = 0.5269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03988350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03988350} λ = -0.03988350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169504877056519))-π/2
    2×atan(0.844082637831593)-π/2
    2×0.701048683583599-π/2
    1.4020973671672-1.57079632675     		φ = -0.16869896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03988350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16869896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.665738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8088 KachelY 8634 -0.03988350 -0.16869896 -2.285156 -9.665738
    Oben rechts KachelX + 1 8089 KachelY 8634 -0.03950001 -0.16869896 -2.263184 -9.665738
    Unten links KachelX 8088 KachelY + 1 8635 -0.03988350 -0.16907700 -2.285156 -9.687399
    Unten rechts KachelX + 1 8089 KachelY + 1 8635 -0.03950001 -0.16907700 -2.263184 -9.687399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16869896--0.16907700) × R
    0.000378039999999996 × 6371000     		dl = 2408.49283999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16869896--0.16907700) × R
    0.000378039999999996 × 6371000     		dr = 2408.49283999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03988350--0.03950001) × cos(-0.16869896) × R
    0.00038349 × 0.985804045698839 × 6371000     		do = 2408.53102449324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03988350--0.03950001) × cos(-0.16907700) × R
    0.00038349 × 0.985740502371485 × 6371000     		du = 2408.37577449604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16869896)-sin(-0.16907700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985804045698839-0.985740502371485)×R²
    abs(-0.03950001--0.03988350)×6.35433273544761e-05×R²
    0.00038349×6.35433273544761e-05×6371000²
    0.00038349×6.35433273544761e-05×40589641000000     		ar = 5800742.83724033m²