Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8088 / 7784
↖ ↑ ↗
← N 79.584407°
W135.571289°		 ← 110.43 m → N 79.584407°
W135.565796°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
N 79.583414°
W135.571289°		 ← 110.44 m →
12 194 m²		 N 79.583414°
W135.565796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123420715332031 y=0.118782043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123420715332031 × 216)
    floor (0.123420715332031 × 65536)
    floor (8088.5)     		tx = 8088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118782043457031 × 216)
    floor (0.118782043457031 × 65536)
    floor (7784.5)     		ty = 7784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8088 / 7784 ti = "16/8088/7784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8088/7784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8088 ÷ 216
    8088 ÷ 65536     		x = 0.1234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7784 ÷ 216
    7784 ÷ 65536     		y = 0.1187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36616537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1187744140625 × 2 - 1) × π
    0.762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39531100021497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36616537} λ = -2.36616537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39531100021497))-π/2
    2×atan(10.9716097015178)-π/2
    2×1.47990313502516-π/2
    2.95980627005032-1.57079632675     		φ = 1.38900994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36616537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38900994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.584407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8088 KachelY 7784 -2.36616537 1.38900994 -135.571289 79.584407
    Oben rechts KachelX + 1 8089 KachelY 7784 -2.36606949 1.38900994 -135.565796 79.584407
    Unten links KachelX 8088 KachelY + 1 7785 -2.36616537 1.38899261 -135.571289 79.583414
    Unten rechts KachelX + 1 8089 KachelY + 1 7785 -2.36606949 1.38899261 -135.565796 79.583414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38900994-1.38899261) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38900994-1.38899261) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36616537--2.36606949) × cos(1.38900994) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.180786812214578 × 6371000     		do = 110.433891805685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36616537--2.36606949) × cos(1.38899261) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.180803856629011 × 6371000     		du = 110.444303411467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38900994)-sin(1.38899261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180786812214578-0.180803856629011)×R²
    abs(-2.36606949--2.36616537)×1.7044414433065e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.7044414433065e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.7044414433065e-05×40589641000000     		ar = 12193.5178169442m²