Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8088 / 25816
↖ ↑ ↗
← S 71.385142°
W 91.142578°		 ← 389.95 m → S 71.385142°
W 91.131592°		 →
↑
389.91 m
↓
↑
389.91 m
↓
S 71.388649°
W 91.142578°		 ← 389.88 m →
152 031 m²		 S 71.388649°
W 91.131592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.246841430664062 y=0.787857055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.246841430664062 × 215)
    floor (0.246841430664062 × 32768)
    floor (8088.5)     		tx = 8088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787857055664062 × 215)
    floor (0.787857055664062 × 32768)
    floor (25816.5)     		ty = 25816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8088 / 25816 ti = "15/8088/25816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8088/25816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8088 ÷ 215
    8088 ÷ 32768     		x = 0.246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25816 ÷ 215
    25816 ÷ 32768     		y = 0.787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.50634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.59073808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.57568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80856334886548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.59073808} λ = -1.59073808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80856334886548))-π/2
    2×atan(0.163889419673244)-π/2
    2×0.162445280219812-π/2
    0.324890560439624-1.57079632675     		φ = -1.24590577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.59073808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -91.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24590577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.385142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8088 KachelY 25816 -1.59073808 -1.24590577 -91.142578 -71.385142
    Oben rechts KachelX + 1 8089 KachelY 25816 -1.59054633 -1.24590577 -91.131592 -71.385142
    Unten links KachelX 8088 KachelY + 1 25817 -1.59073808 -1.24596697 -91.142578 -71.388649
    Unten rechts KachelX + 1 8089 KachelY + 1 25817 -1.59054633 -1.24596697 -91.131592 -71.388649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24590577--1.24596697) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dl = 389.905199999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24590577--1.24596697) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dr = 389.905199999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.59073808--1.59054633) × cos(-1.24590577) × R
    0.000191749999999935 × 0.31920507001208 × 6371000     		do = 389.953442325622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.59073808--1.59054633) × cos(-1.24596697) × R
    0.000191749999999935 × 0.319147071051519 × 6371000     		du = 389.882588518942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24590577)-sin(-1.24596697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31920507001208-0.319147071051519)×R²
    abs(-1.59054633--1.59073808)×5.79989605607456e-05×R²
    0.000191749999999935×5.79989605607456e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.79989605607456e-05×40589641000000     		ar = 152031.0618343m²