Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80869 / 19517
↖ ↑ ↗
← N 77.429617°
E 42.113342°		 ← 66.47 m → N 77.429617°
E 42.116089°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.429019°
E 42.113342°		 ← 66.48 m →
4 417 m²		 N 77.429019°
E 42.116089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616985321044922 y=0.148906707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616985321044922 × 217)
    floor (0.616985321044922 × 131072)
    floor (80869.5)     		tx = 80869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148906707763672 × 217)
    floor (0.148906707763672 × 131072)
    floor (19517.5)     		ty = 19517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80869 / 19517 ti = "17/80869/19517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80869/19517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80869 ÷ 217
    80869 ÷ 131072     		x = 0.616981506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19517 ÷ 217
    19517 ÷ 131072     		y = 0.148902893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616981506347656 × 2 - 1) × π
    0.233963012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.73501648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148902893066406 × 2 - 1) × π
    0.702194213867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.20600818361536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73501648} λ = 0.73501648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20600818361536))-π/2
    2×atan(9.07940065808083)-π/2
    2×1.46109904048143-π/2
    2.92219808096287-1.57079632675     		φ = 1.35140175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73501648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.113342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35140175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.429617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80869 KachelY 19517 0.73501648 1.35140175 42.113342 77.429617
    Oben rechts KachelX + 1 80870 KachelY 19517 0.73506442 1.35140175 42.116089 77.429617
    Unten links KachelX 80869 KachelY + 1 19518 0.73501648 1.35139132 42.113342 77.429019
    Unten rechts KachelX + 1 80870 KachelY + 1 19518 0.73506442 1.35139132 42.116089 77.429019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35140175-1.35139132) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35140175-1.35139132) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73501648-0.73506442) × cos(1.35140175) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217638752160694 × 6371000     		do = 66.4724769314671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73501648-0.73506442) × cos(1.35139132) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217648932135412 × 6371000     		du = 66.4755861577784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35140175)-sin(1.35139132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217638752160694-0.217648932135412)×R²
    abs(0.73506442-0.73501648)×1.017997471775e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.017997471775e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.017997471775e-05×40589641000000     		ar = 4417.16815342077m²