Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80868 / 19516
↖ ↑ ↗
← N 77.430215°
E 42.110595°		 ← 66.47 m → N 77.430215°
E 42.113342°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.429617°
E 42.110595°		 ← 66.47 m →
4 421 m²		 N 77.429617°
E 42.113342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616977691650391 y=0.148899078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616977691650391 × 217)
    floor (0.616977691650391 × 131072)
    floor (80868.5)     		tx = 80868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148899078369141 × 217)
    floor (0.148899078369141 × 131072)
    floor (19516.5)     		ty = 19516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80868 / 19516 ti = "17/80868/19516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80868/19516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80868 ÷ 217
    80868 ÷ 131072     		x = 0.616973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19516 ÷ 217
    19516 ÷ 131072     		y = 0.148895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616973876953125 × 2 - 1) × π
    0.23394775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73496854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148895263671875 × 2 - 1) × π
    0.70220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20605612051498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73496854} λ = 0.73496854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20605612051498))-π/2
    2×atan(9.07983590683094)-π/2
    2×1.46110425682281-π/2
    2.92220851364563-1.57079632675     		φ = 1.35141219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73496854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.110595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35141219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.430215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80868 KachelY 19516 0.73496854 1.35141219 42.110595 77.430215
    Oben rechts KachelX + 1 80869 KachelY 19516 0.73501648 1.35141219 42.113342 77.430215
    Unten links KachelX 80868 KachelY + 1 19517 0.73496854 1.35140175 42.110595 77.429617
    Unten rechts KachelX + 1 80869 KachelY + 1 19517 0.73501648 1.35140175 42.113342 77.429617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35141219-1.35140175) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dl = 66.5132400003565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35141219-1.35140175) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dr = 66.5132400003565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73496854-0.73501648) × cos(1.35141219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217628562401984 × 6371000     		do = 66.4693647167186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73496854-0.73501648) × cos(1.35140175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217638752160694 × 6371000     		du = 66.4724769313131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35141219)-sin(1.35140175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217628562401984-0.217638752160694)×R²
    abs(0.73501648-0.73496854)×1.01897587103383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01897587103383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01897587103383e-05×40589641000000     		ar = 4421.19630987397m²