Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80863 / 19524
↖ ↑ ↗
← N 77.425432°
E 42.096863°		 ← 66.49 m → N 77.425432°
E 42.099610°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.424834°
E 42.096863°		 ← 66.50 m →
4 419 m²		 N 77.424834°
E 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616939544677734 y=0.148960113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616939544677734 × 217)
    floor (0.616939544677734 × 131072)
    floor (80863.5)     		tx = 80863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148960113525391 × 217)
    floor (0.148960113525391 × 131072)
    floor (19524.5)     		ty = 19524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80863 / 19524 ti = "17/80863/19524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80863/19524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80863 ÷ 217
    80863 ÷ 131072     		x = 0.616935729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19524 ÷ 217
    19524 ÷ 131072     		y = 0.148956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616935729980469 × 2 - 1) × π
    0.233871459960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.73472886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148956298828125 × 2 - 1) × π
    0.70208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20567262531802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73472886} λ = 0.73472886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20567262531802))-π/2
    2×atan(9.07635450096537)-π/2
    2×1.4610625192573-π/2
    2.9221250385146-1.57079632675     		φ = 1.35132871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73472886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.096863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35132871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.425432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80863 KachelY 19524 0.73472886 1.35132871 42.096863 77.425432
    Oben rechts KachelX + 1 80864 KachelY 19524 0.73477680 1.35132871 42.099610 77.425432
    Unten links KachelX 80863 KachelY + 1 19525 0.73472886 1.35131828 42.096863 77.424834
    Unten rechts KachelX + 1 80864 KachelY + 1 19525 0.73477680 1.35131828 42.099610 77.424834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35132871-1.35131828) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35132871-1.35131828) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73472886-0.73477680) × cos(1.35132871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21771004076687 × 6371000     		do = 66.4942503066079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73472886-0.73477680) × cos(1.35131828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217720220575758 × 6371000     		du = 66.4973594822706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35132871)-sin(1.35131828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21771004076687-0.217720220575758)×R²
    abs(0.73477680-0.73472886)×1.01798088879279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01798088879279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01798088879279e-05×40589641000000     		ar = 4418.6149821514m²