Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80861 / 19523
↖ ↑ ↗
← N 77.426030°
E 42.091370°		 ← 66.48 m → N 77.426030°
E 42.094116°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.425432°
E 42.091370°		 ← 66.48 m →
4 422 m²		 N 77.425432°
E 42.094116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616924285888672 y=0.148952484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616924285888672 × 217)
    floor (0.616924285888672 × 131072)
    floor (80861.5)     		tx = 80861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148952484130859 × 217)
    floor (0.148952484130859 × 131072)
    floor (19523.5)     		ty = 19523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80861 / 19523 ti = "17/80861/19523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80861/19523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80861 ÷ 217
    80861 ÷ 131072     		x = 0.616920471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19523 ÷ 217
    19523 ÷ 131072     		y = 0.148948669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616920471191406 × 2 - 1) × π
    0.233840942382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.73463299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148948669433594 × 2 - 1) × π
    0.702102661132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.20572056221764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73463299} λ = 0.73463299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20572056221764))-π/2
    2×atan(9.07678960368865)-π/2
    2×1.46106773730738-π/2
    2.92213547461475-1.57079632675     		φ = 1.35133915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73463299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.091370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35133915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.426030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80861 KachelY 19523 0.73463299 1.35133915 42.091370 77.426030
    Oben rechts KachelX + 1 80862 KachelY 19523 0.73468092 1.35133915 42.094116 77.426030
    Unten links KachelX 80861 KachelY + 1 19524 0.73463299 1.35132871 42.091370 77.425432
    Unten rechts KachelX + 1 80862 KachelY + 1 19524 0.73468092 1.35132871 42.094116 77.425432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35133915-1.35132871) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dl = 66.5132400003565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35133915-1.35132871) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dr = 66.5132400003565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73463299-0.73468092) × cos(1.35133915) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.217699851174141 × 6371000     		do = 66.4772684851203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73463299-0.73468092) × cos(1.35132871) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.21771004076687 × 6371000     		du = 66.480379999841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35133915)-sin(1.35132871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217699851174141-0.21771004076687)×R²
    abs(0.73468092-0.73463299)×1.01895927293316e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.01895927293316e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.01895927293316e-05×40589641000000     		ar = 4421.72199177668m²