Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80855 / 19477
↖ ↑ ↗
← N 77.453505°
E 42.074890°		 ← 66.33 m → N 77.453505°
E 42.077637°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.452909°
E 42.074890°		 ← 66.34 m →
4 400 m²		 N 77.452909°
E 42.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616878509521484 y=0.148601531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616878509521484 × 217)
    floor (0.616878509521484 × 131072)
    floor (80855.5)     		tx = 80855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148601531982422 × 217)
    floor (0.148601531982422 × 131072)
    floor (19477.5)     		ty = 19477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80855 / 19477 ti = "17/80855/19477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80855/19477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80855 ÷ 217
    80855 ÷ 131072     		x = 0.616874694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19477 ÷ 217
    19477 ÷ 131072     		y = 0.148597717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616874694824219 × 2 - 1) × π
    0.233749389648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.73434537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148597717285156 × 2 - 1) × π
    0.702804565429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.20792565960017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73434537} λ = 0.73434537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20792565960017))-π/2
    2×atan(9.09682689265297)-π/2
    2×1.46130750387998-π/2
    2.92261500775997-1.57079632675     		φ = 1.35181868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73434537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.074890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35181868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.453505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80855 KachelY 19477 0.73434537 1.35181868 42.074890 77.453505
    Oben rechts KachelX + 1 80856 KachelY 19477 0.73439330 1.35181868 42.077637 77.453505
    Unten links KachelX 80855 KachelY + 1 19478 0.73434537 1.35180827 42.074890 77.452909
    Unten rechts KachelX + 1 80856 KachelY + 1 19478 0.73439330 1.35180827 42.077637 77.452909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35181868-1.35180827) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35181868-1.35180827) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73434537-0.73439330) × cos(1.35181868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217231797322042 × 6371000     		do = 66.334342610848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73434537-0.73439330) × cos(1.35180827) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217241958719961 × 6371000     		du = 66.3374455159442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35181868)-sin(1.35180827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217231797322042-0.217241958719961)×R²
    abs(0.73439330-0.73434537)×1.01613979190118e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01613979190118e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01613979190118e-05×40589641000000     		ar = 4399.53646303956m²