Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80854 / 19550
↖ ↑ ↗
← N 77.409875°
E 42.072144°		 ← 66.58 m → N 77.409875°
E 42.074890°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.409277°
E 42.072144°		 ← 66.58 m →
4 432 m²		 N 77.409277°
E 42.074890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616870880126953 y=0.149158477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616870880126953 × 217)
    floor (0.616870880126953 × 131072)
    floor (80854.5)     		tx = 80854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149158477783203 × 217)
    floor (0.149158477783203 × 131072)
    floor (19550.5)     		ty = 19550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80854 / 19550 ti = "17/80854/19550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80854/19550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80854 ÷ 217
    80854 ÷ 131072     		x = 0.616867065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19550 ÷ 217
    19550 ÷ 131072     		y = 0.149154663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616867065429688 × 2 - 1) × π
    0.233734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73429743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149154663085938 × 2 - 1) × π
    0.701690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2044262659279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73429743} λ = 0.73429743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2044262659279))-π/2
    2×atan(9.06504914803489)-π/2
    2×1.46092676422941-π/2
    2.92185352845883-1.57079632675     		φ = 1.35105720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73429743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.072144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35105720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.409875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80854 KachelY 19550 0.73429743 1.35105720 42.072144 77.409875
    Oben rechts KachelX + 1 80855 KachelY 19550 0.73434537 1.35105720 42.074890 77.409875
    Unten links KachelX 80854 KachelY + 1 19551 0.73429743 1.35104675 42.072144 77.409277
    Unten rechts KachelX + 1 80855 KachelY + 1 19551 0.73434537 1.35104675 42.074890 77.409277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35105720-1.35104675) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35105720-1.35104675) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73429743-0.73434537) × cos(1.35105720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217975030162508 × 6371000     		do = 66.5751848888627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73429743-0.73434537) × cos(1.35104675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217985228873526 × 6371000     		du = 66.5782998377223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35105720)-sin(1.35104675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217975030162508-0.217985228873526)×R²
    abs(0.73434537-0.73429743)×1.0198711017817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0198711017817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0198711017817e-05×40589641000000     		ar = 4432.47644759298m²